Determinar si este mapa $\phi$ es un isomorfismo

Question

$\langle M_2 (\mathbb{R}), \cdot \rangle$ con $\langle \mathbb{R}, \cdot \rangle$ donde $\phi(A)$ es el determinante de la matriz $A$ .

No creo que el mapa sea un isomorfismo porque no creo que sea inyectivo (uno a uno). Sé que si una matriz no es invertible, entonces el determinante siempre será 0 y que el $\det(A) = \det(A^T)$ . Sin embargo, me resulta difícil respaldar mi respuesta y explicar lo que sé para demostrar que el mapa no es un isomorfismo. Esto es lo que tengo hasta ahora.

Sea $A$ ser un $2 \times 2$ Matriz y sea B la transpuesta de A. Entonces $\phi(A) = \det(A) = \det(B) = \phi(B)$ .

¿Es esto suficiente para demostrar que el mapa no es inyectivo?

Answer 1

Otros han comentado las pruebas que has presentado. Presentaré una prueba alternativa por si resulta útil.

Supongamos que $\phi: M_2(\mathbb R) \to \mathbb R$ es un isomorfismo. Entonces su inverso, $\phi^{-1}: \mathbb R \to M_2(\mathbb R)$ también debe ser un isomorfismo.

Ahora, elige dos matrices $H_1, H_2 \in M_2(\mathbb R)$ tal que $H_1 H_2 \neq H_2 H_1$ . Desde $\phi^{-1}$ es un isomorfismo, también debe ser suryectivo, por lo que existen elementos $n_1, n_2 \in \mathbb R$ tal que $\phi^{-1}(n_1) = H_1$ y $\phi^{-1}(n_2) = H_2$ . Por lo tanto, tenemos $$ H_1 H_2 = \phi^{-1}(n_1) \phi^{-1}(n_2) = \phi^{-1}(n_1 n_2) $$

Dado que los números reales conmutan (lo que significa que el grupo $(\mathbb R, \cdot)$ es abeliano), $n_1 n_2 = n_2 n_1$ . Por lo tanto, $$ \phi^{-1}(n_1 n_2) = \phi^{-1}(n_2 n_1). $$

Una vez más aplicando las propiedades de un isomorfismo obtenemos $$ \phi^{-1}(n_2 n_1) = \phi^{-1}(n_2)\phi^{-1}(n_1) = H_2 H_1. $$ Por lo tanto, $$ H_1 H_2 = H_2 H_1. $$ lo que contradice la condición de que $H_1 H_2 \neq H_2 H_1$ por lo que nuestra suposición de que $\phi$ es un isomorfismo debe ser falso.

Answer 2

Para demostrar que un mapa no es inyectivo, basta con encontrar dos entradas que correspondan a la misma salida. En este caso, las siguientes matrices tienen el mismo determinante: \begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} , && \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align*} Así que el mapa no es inyectivo (por lo tanto no es un isomorfismo).

Answer 3

Supongamos que es un isomorfismo de grupo. Entonces hay un homomorfismo de grupo $\psi$ s.t. $\psi (\phi(x)) = x$ y $x = \phi(\psi(x))$ . Tomemos dos números reales cualesquiera, $a$ y $b$ . Desde $ab$ = $ba$ , $\psi(ab) = \psi(ba)$ . $\psi(ab) = \psi(a)\cdot\psi(b) = \psi(b)\cdot\psi(a)$ . Desde $a$ y $b$ son arbitrarios y $\psi$ es biyección, $\psi(a)$ y $\psi(b)$ son arbitrarias, por lo que para cualquier matriz $A$ y $B$ se desplazan. Pero esto es falso.