Cómo encontrar Operadores de Casimir y su grado.

Question

Consideremos el problema bastante general de calcular todos Operadores de Casimir de una álgebra de Lie dada $\mathfrak{g}$ . ¿Cómo se procede, en general? ¿Y cómo es posible calcular el grado de un Operador Casimir dado?

Sólo sé encontrar el cuadrático, utilizando una analogía física con el cuadrado del 4-momento, o el momento angular.

Answer 1

Una aclaración: no estás buscando el elemento Casimir, estás buscando los generadores del centro. Entonces necesitarás Isomorfismo Harish-Chandra Así que tu problema será equivalente a encontrar una base en el anillo de " $W$ -polinomios "simétricos $S(\mathfrak{h})^W$ '. Este es un tema de la teoría de invariantes. Como $W$ es finito el problema no es tan difícil, busque el teorema de finitud de Noether (por ejemplo en Teoría invariante Craft-Procesi: Un manual ). Por supuesto, encontrar una base razonable es un problema que depende de las propiedades que quieras que tenga. Para el $A,B,C,D$ serie se puede encontrar la discussion en Humphreys " Grupos de reflexión y grupos de Coxeter '' Apartado 3.12

P.D. El término "elementos de Casimir" para los generadores es popular en física, pero nunca utilizados en matemáticas.