De un producto de subgrupos

Question

Vamos $H$, $K$ se subgrupos de $G$. Demostrar que $o(HK) = \frac{o(H)o(K)}{o(H \cap K)}$.

Necesito este teorema a demostrar algo.

Answer 1

El grupo $H \times K$ actúa sobre el conjunto de $HK \subseteq G$ través $(h,k) x := hxk^{-1}$. Cleary la acción es transitiva. El estabilizador de la $1 \in HK$ es fácilmente visto para ser isomorfo a $H \cap K$. La órbita-estabilizador de "teorema" implica $|HK| \cdot |H \cap K| = |H \times K| = |H| \cdot |K|$.

Por cierto, esta prueba también funciona al $H,K$ son infinitas.

Answer 2

Aquí es de Látex-ed versión de prueba publicado en BBred del comentario. He tratado de agregar los detalles de un lugar de la prueba. Si el OP explica que parte de la prueba es el problema, tal vez esa parte puede ser explicado en más detalle. He hecho esta respuesta un CW - nadie, siéntase libre de contribuir.

Ciertamente, el conjunto de $HK$ $|H||K|$ símbolos. Sin embargo,no todos los símbolos de la necesidad de representar distintos elementos del grupo. Es decir, podemos tener $hk=h'k'$ aunque $h\ne h'$$k\ne k'$. Debemos determinar el grado en que esto sucede.

Para cada $t\in H\cap K$, $hk =(ht)(t^{-1} k)$, de modo que cada elemento del grupo en $HK$ está representado por al menos $|H\cap K|$ productos en $HK$.

Pero $hk = h'k'$ implica $t = h^{-1} h' = k(k')^{-1}\in H\cap K$, de modo que $h'=ht$$k' = t^{-1} k$. Así, cada elemento en $HK$ está representado por exactamente $|H\cap K|$ de los productos. Por eso, $$|HK|= \frac{|H||K|}{|H\cap K|}.$$

Si tenemos $hk=h'k'$ y multiplicamos esto por $h^{-1}$ desde la izquierda y por ${k'}^{-1}$ desde la derecha, obtenemos $$k{k'}^{-1}=h^{-1}h.$$ Tal vez debería hacerse hincapié en que $t\in H$, ya que el $t=h^{-1}h'$; y $t\in K$ desde $t=k{k'}^{-1}$. (Lo que significa que $t\in H\cap K$.)

Answer 3

Sabemos que $$HK=\bigcup_{h\in H} hK$$ y cada una de las $hK$ tiene la misma cardinalidad $|hK|=|K|$. (Ver ProofWiki.)

También sabemos que para cualquier $h,h'\in G$ $hK\cap h'K=\emptyset$ o $hK=h'K$.

Así que el único problema es averiguar cómo muchos de los cosets $hK$, $h\in H$, son distintos.

Desde $$hK=h'K \Leftrightarrow h^{-1}h'\in K$$ (ver ProofWiki) vemos que para cada una de las $k\in K$, los elementos $h'=hk$ representan el mismo conjunto. (Tenemos $k=h^{-1}h'$.) También vemos que si $k=h^{-1}h'$ $k$ debe pertenecer a $H$.

Dado que el número de elementos que representan a la misma coset es$|H\cap K|$, $|H|/|H\cap K|$ distintos cosets y $\frac{|H||K|}{|H\cap K|}$ elementos de la unión.

Answer 4

En primer lugar, se puede demostrar que $HK \le G \iff H \unlhd HK$ o $K \unlhd HK$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las $K \unlhd HK$.

Deje $T = H\cap K$. A continuación,$T \unlhd H$.

Considere la función $f: H/T \to HK/K$ donde $f(hT)=hK$ por cada izquierdo coset $hT \in H/T$. Supongamos $f(hT)=f(gT)$ algunos $hT, gT \in H/T$. A continuación,$hK=gK$. Por lo $h^{-1}g \in K$. Pero desde $h, g \in H, h^{-1}g \in H$. Por lo $h^{-1}g \in T$. A continuación,$hT=gT$. Por lo $f$ es una función inyectiva.

Ahora tome $(hk)K \in HK/K$ donde$h \in H$$k \in K$. A continuación,$(hk)K=hK$. De modo que existe $hT \in H/T$ tal que $f(hT)= (hk)K$. Por lo $f$ es un surjective función.

Desde $f$ es un bijective función, $|H/T|=|HK/K|$. A continuación,$\frac {|H|}{|T|}= \frac {|HK|}{|K|}$. Por lo tanto $|HK|= \frac {|H||K|}{|T|} = \frac {|H||K|}{|H \cap K|}$.