Processing math: 1%

47 votos

De un producto de subgrupos

Vamos H, K se subgrupos de G. Demostrar que o(HK) = \frac{o(H)o(K)}{o(H \cap K)}.

Necesito este teorema a demostrar algo.

79voto

Jeff Puntos 804

El grupo H \times K actúa sobre el conjunto de HK \subseteq G través (h,k) x := hxk^{-1}. Cleary la acción es transitiva. El estabilizador de la 1 \in HK es fácilmente visto para ser isomorfo a H \cap K. La órbita-estabilizador de "teorema" implica |HK| \cdot |H \cap K| = |H \times K| = |H| \cdot |K|.

Por cierto, esta prueba también funciona al H,K son infinitas.

34voto

freespace Puntos 9024

Aquí es de Látex-ed versión de prueba publicado en BBred del comentario. He tratado de agregar los detalles de un lugar de la prueba. Si el OP explica que parte de la prueba es el problema, tal vez esa parte puede ser explicado en más detalle. He hecho esta respuesta un CW - nadie, siéntase libre de contribuir.

Ciertamente, el conjunto de HK |H||K| símbolos. Sin embargo,no todos los símbolos de la necesidad de representar distintos elementos del grupo. Es decir, podemos tener hk=h'k' aunque h\ne h'k\ne k'. Debemos determinar el grado en que esto sucede.

Para cada t\in H\cap K, hk =(ht)(t^{-1} k), de modo que cada elemento del grupo en HK está representado por al menos |H\cap K| productos en HK.

Pero hk = h'k' implica t = h^{-1} h' = k(k')^{-1}\in H\cap K, de modo que h'=htk' = t^{-1} k. Así, cada elemento en HK está representado por exactamente |H\cap K| de los productos. Por eso, |HK|= \frac{|H||K|}{|H\cap K|}.

Si tenemos hk=h'k' y multiplicamos esto por h^{-1} desde la izquierda y por {k'}^{-1} desde la derecha, obtenemos k{k'}^{-1}=h^{-1}h. Tal vez debería hacerse hincapié en que t\in H, ya que el t=h^{-1}h'; y t\in K desde t=k{k'}^{-1}. (Lo que significa que t\in H\cap K.)

19voto

freespace Puntos 9024

Sabemos que HK=\bigcup_{h\in H} hK y cada una de las hK tiene la misma cardinalidad |hK|=|K|. (Ver ProofWiki.)

También sabemos que para cualquier h,h'\in G hK\cap h'K=\emptyset o hK=h'K.

Así que el único problema es averiguar cómo muchos de los cosets hK, h\in H, son distintos.

Desde hK=h'K \Leftrightarrow h^{-1}h'\in K (ver ProofWiki) vemos que para cada una de las k\in K, los elementos h'=hk representan el mismo conjunto. (Tenemos k=h^{-1}h'.) También vemos que si k=h^{-1}h' k debe pertenecer a H.

Dado que el número de elementos que representan a la misma coset es|H\cap K|, |H|/|H\cap K| distintos cosets y \frac{|H||K|}{|H\cap K|} elementos de la unión.

1voto

Andrew Rajah Puntos 1

En primer lugar, se puede demostrar que HK \le G \iff H \unlhd HK o K \unlhd HK. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las K \unlhd HK.

Deje T = H\cap K. A continuación,T \unlhd H.

Considere la función f: H/T \to HK/K donde f(hT)=hK por cada izquierdo coset hT \in H/T. Supongamos f(hT)=f(gT) algunos hT, gT \in H/T. A continuación,hK=gK. Por lo h^{-1}g \in K. Pero desde h, g \in H, h^{-1}g \in H. Por lo h^{-1}g \in T. A continuación,hT=gT. Por lo f es una función inyectiva.

Ahora tome (hk)K \in HK/K dondeh \in Hk \in K. A continuación,(hk)K=hK. De modo que existe hT \in H/T tal que f(hT)= (hk)K. Por lo f es un surjective función.

Desde f es un bijective función, |H/T|=|HK/K|. A continuación,\frac {|H|}{|T|}= \frac {|HK|}{|K|}. Por lo tanto |HK|= \frac {|H||K|}{|T|} = \frac {|H||K|}{|H \cap K|}.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X