Sumas de Riemann para funciones exponenciales

Question

Tenía una pregunta sobre las sumas de Riemann para funciones exponenciales. La función en cuestión es:

$e^{-x^2}$ [Más comúnmente conocida como Integral de Gauss].

La integral de 0 a 1 (integral definida con el límite superior 1 y el límite inferior 0)

Usando Sumas de Riemann, conseguí resolver para una cantidad específica de rectángulos. (por ejemplo 5,7,9 etc). Sin embargo, yo quería resolver para "n" rectángulos.

¿Qué debo hacer exactamente? He visto un par de vídeos y en ninguno se habla de funciones exponenciales; sólo de polinomios. Sé que tengo que expresarlo como un límite como n va a infinito, pero estoy teniendo problemas con él.

Sé que $\Delta x$ sería $1/n$ . Sin embargo, tengo problemas con el resto.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

No importa cuál sea la función. La fórmula general es

$$ I \approx \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{1}{k}\right)$$ utilizando el lado izquierdo de los rectángulos. $$ I \approx \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{1}{k}\right)$$ utilizando el lado derecho de los rectángulos.

Puedes promediar los dos para obtener la integración trapezoidal.

Para su problema $$ f\left(\frac{1}{k}\right) = e^{\frac{-1}{k^2}} $$

Añadido en respuesta a la pregunta del OP

Estos son los cálculos para $N=4$ $$ \frac{ e^{-(1/4)^2}+ e^{-(2/4)^2}+ e^{-(3/4)^2}+ e^{-(4/4)^2}}{4} \\ \frac{ 0.9394+ 0.7788+ 0.5698+ 0.3679}{4} = 0.664$$

Para $N=6$

$$\frac{ e^{-(1/6)^2}+ e^{-(2/6)^2}+ e^{-(3/6)^2}+ e^{-(4/6)^2}+ e^{-(5/6)^2}+ e^ {-(6/6)^2}}{6}\\ \frac{0.972604+ 0.894839+ 0.778801+ 0.64118+ 0.499352+ 0.367879}{6} = 0.692443 $$

Para $N=8$ : $$ \frac{e^{-(1/8)^2}+ e^{-(2/8)^2}+ e^{-(3/8)^2}+ e^{-(4/8)^2}+ e^{-(5/8)^2}+ e^ {-(6/8)^2}+ e^{-(7/8)^2}+ e^{-(8/8)^2}}{8} \\ =\frac{0.9845+ 0.9394+ 0.8688+ 0.7788+ 0.6766+ 0.5698+ 0.465+ 0.3679}{8} = 0.7064 $$

Si te fijas bien, la mitad de las cifras de $N=8$ ya están calculados para $N=4$ . Así que si duplicas $N$ puedes ahorrarte la mitad de los cálculos.

Si conoce la extrapolación de Richardson, puede estimación el límite $N\rightarrow \infty$ fácilmente.