Optimalidad de la hipótesis de Riemann

Question

La hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que la función de recuento de primos $\pi(x) := \sum_{p \le x} 1$ se desvía de la integral logarítmica $Li(x) = \int_2^x \frac{dx}{\log x}$ en el orden $O(\sqrt{x} \log x)$ . Desde $\log x = O(x^\alpha)$ para cualquier $\alpha>0$ la hipótesis de Riemann implica que: $$\forall \alpha > \frac12, |\pi(x) - Li(x)| = O(x^\alpha)$$ Por lo que tengo entendido, este es el mejor límite de potencia posible disponible, lo que significa que para cualquier $\alpha \le \frac12$ Nosotros no tienen $|\pi(x) - Li(x)| = O(x^\alpha)$ . (No estoy seguro de si los límites como $O(\sqrt{x} \log \log x)$ podría ser posible).

¿Dónde puedo leer una prueba de que, efectivamente, éste es el mejor límite de potencia posible? En respuesta a esta pregunta afirma que cualquier libro de texto sobre teoría analítica de números servirá, pero me gustaría conocer una referencia explícita de libro de texto que pueda consultar.

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Más concretamente, he seguido los pasos indicados en la pregunta referenciada anteriormente, y no he podido avanzar en un punto. Para la función de Chebyshev $\psi(x) = \sum_{p^n \le x}\log p$ deduje que \begin{align*} \left| \psi(x) - x \right| = \left| \log 2\pi + \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho} \right| = \left| \log 2\pi + \frac12 \log (1- \frac1{x^2}) + \sum_{\rho \text{ ntv.}} \frac{x^\rho}{\rho} \right| \sim \left| \sum_{\rho \text{ ntv.}} \frac{x^\rho}{\rho} \right| \end{align*} donde $f(x) \sim g(x)$ si $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)/g(x) = 1$ la suma sobre $\rho$ es la suma sobre los ceros de la zeta de Riemann, y el calificativo "ntv." se refiere a contar sólo los ceros no triviales. Dado que $\psi(x) \sim \pi(x) \log x$ En este punto me gustaría mostrar dos cosas:

1. La hipótesis de Riemann equivale a la afirmación de que $|\psi(x) - x| < \sqrt{x} \log ^2 x$ para un tamaño suficientemente grande $x$ (Schoenfield 1976, según Wikipedia)

2. Independientemente de la hipótesis de Riemann, uno no puede tienen $|\psi(x) - x| = O(x^\alpha)$ para cualquier $\alpha \le \frac12$ .

Parece como si ambas equivalencias se derivaran directamente de la expresión $$|\psi(x) - x| \sim \left| \sum_{\rho \text{ ntv.}} \frac{x^\rho}{\rho} \right|$$ Sin embargo, no sé cómo calcular los factores de fase que aparecen en la siguiente expresión: $$\frac{x^\rho}{\rho} = \left( \frac{e^{it \log x} (\sigma - it)}{\sigma^2+t^2} \right) \cdot x^\sigma \text{, where $ \rho = \sigma + it $}$$ para obtener un límite inferior o superior del término de error. El análisis posterior depende, en efecto, de la distribución de la parte imaginaria de los ceros no triviales, que controlará en qué medida los pesos $\frac1\rho$ contribuir al final.

Answer 1

Véase el capítulo 15 ("Oscilación de los términos de error") en Montgomery-Vaughan: Teoría de números multiplicativa I. Véanse especialmente los teoremas 15.2-15.3 y 15.11.

Añadido por Steven Clark y GH de MO. Para mayor comodidad, copiamos a continuación los teoremas pertinentes y algunos textos adicionales del libro. Como de costumbre, $$M(x):=\sum\limits_{n\le x}\mu(n)$$ es la función de Mertens.

Teorema 15.2. Sea $\Theta$ denotan la suma de las partes reales de los ceros de la función zeta. Entonces para cada $\varepsilon>0$ , $$\psi(x)-x=\Omega_\pm(x^{\Theta-\varepsilon})\tag{15.1}$$ y $$\pi(x)-\mathrm{li}(x)=\Omega_\pm(x^{\Theta-\varepsilon})\tag{15.2}$$ como $x\to\infty$ .

Teorema 15.3. Supongamos que $\Theta$ es la suma de las partes reales de $\zeta(s)$ y hay un cero $\rho$ con $\Re\rho=\Theta$ , digamos $\rho=\Theta+i\gamma$ . Entonces $$\underset{x\to\infty}{\text{lim sup}}\ \frac{\psi(x)-x}{x^{\Theta}}\geq \frac{1}{| \rho |}\tag{15.4}$$ y $$\underset{x\to\infty}{\text{lim inf}}\ \frac{\psi(x)-x}{x^{\Theta}}\leq -\frac{1}{| \rho |}.\tag{15.5}$$

Teorema 15.11. En $x\to\infty$ , $$\psi(x) -x = \Omega_{\pm} \bigl(x^{1/2} \log \log \log x\bigr),$$ y $$\pi(x) - \mathrm{li}(x) = \Omega_{\pm} \bigl(x^{1/2}(\log x)^{-1}\log \log \log x\bigr).$$

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Entonces, como en la demostración del Teorema 15.3, encontramos que si $\Theta+i\gamma$ es un cero de $\zeta(s)$ entonces

$$\underset{x\to\infty}{\text{lim sup}}\ \frac{M(x)}{x^{\Theta}}\geq \frac{1}{| \rho\,\zeta'(\rho) |},\tag{15.11}$$

y

$$\underset{x\to\infty}{\text{lim inf}}\ \frac{M(x)}{x^{\Theta}}\leq -\frac{1}{| \rho\,\zeta'(\rho) |}.\tag{15.12}$$