Para cualquier matriz cuadrada real, ¿cuáles son correctas?

Question

Para cualquier matriz cuadrada real $M$ deje $\lambda^+(M)$ el número de valores propios positivos de $M$ contar la multiplicidad. Sea $A$ ser un $n\times n$ matriz simétrica real y $Q$ ser un $n\times n$ matriz real invertible. Entonces, ¿cuáles son correctas?

1. Rango $(A)$ = Rango $Q^TAQ$

2. Rango $(A)$ = Rango $Q^{-1}AQ$

3. $\lambda^+(A)$ = $\lambda^+(Q^TAQ)$

4. $\lambda^+(A)$ = $\lambda^+(Q^{-1}AQ)$

Veo que 2 es correcto, pero ¿y el resto?

Answer 1

(1) es cierta y, de hecho, es una consecuencia de la regla más general ${\sf rank}(PAQ)={\sf rank}(A)$ siempre que $P$ y $Q$ son invertibles.

(4) también es cierta porque los valores propios de $Q^{-1}AQ$ son exactamente los valores propios de $A$ (de hecho, $v$ es un vector propio de $Q^{-1}AQ$ si $Qv$ es un vector propio de $A$ y el valor propio es el mismo).

(3) es una consecuencia de la ley de inercia de Sylvester, como se señala en la respuesta de user44197.

Answer 2

2, 4) es una transformación de similitud, por lo que $\cdots$

3) es la ley de la inercia. Si no la conoces, deberías leerla.

1) también se deduce de la ley de la inercia

Artículo de Wikipedia sobre Ley de inercia de Sylvester