Sea $S_n\times S_n$ actuar $\hbox{Mat}_n(k)$ por permutación de filas y columnas, es decir $M^{(\sigma,\tau)}=P(\sigma)MP(\tau)$ donde $P$ es la representación de permutación. Entonces no hay $(\sigma,\tau)\in S_n\times S_n$ tal que $M^{(\sigma,\tau)}=M^{\top}$ para todos $M\in\hbox{Mat}_n(k)$ equivalentemente no hay matrices de permutación $P$ y $Q$ tal que $PMQ=M^{\top}$ para todos $M$ .
Mi prueba de este hecho es aproximadamente la siguiente. A partir del hecho $\hbox{tr}(PMQ)=\hbox{tr}(M^{\top})$ podemos deducir que $\hbox{tr}(QPM)=\hbox{tr}(QPMQQ^{\top})=\hbox{tr}(M^{\top})=\hbox{tr}(M)$ . De ello se deduce $PQ=I$ Así pues $Q=P^{\top}$ . Así pues, basta con demostrar que no existe ninguna matriz de permutación $P$ tal que $P^{\top}MP=M^{\top}$ para todos $M$ .
$S_n$ actúa fielmente en $\hbox{Mat}_n(k)$ por conjugación. La identidad $P^{\top}MP=M^{\top}$ implica que $P^{\top} M^{\top} P=M$ Así pues $P$ debe ser una involución. Pero es fácil comprobar que si $(ij)$ es un 2-ciclo en la descomposición de la involución representada por $P$ entonces $(P^{\top}MP)_{ii}=M_{jj}$ . Así pues, la única posibilidad es $P=I$ pero entonces $P^{\top}MP=M^{\top}$ para todos $M$ es imposible.
No estoy del todo satisfecho con esta prueba, me parece más complicada de lo necesario. ¿Puedes encontrar una prueba más simple y elemental? (¿posiblemente evitando largos cálculos?)
