Sea $W(t)$ sea un movimiento browniano estándar y sea $I(t) = \int_0^t W(s) \, \mathrm{d}s$ denotan su integral temporal. Me interesa la distribución conjunta de $(W(t), \,I(t))$ pero no encuentro ninguna referencia al respecto. ¿Es desconocido? No encuentro ni siquiera un cálculo de covarianza.
Respuesta
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Dado que el movimiento browniano $(W_t)_{t \geq 0}$ es un proceso gaussiano, el vector aleatorio $(W_{t_1},\ldots,W_{t_n})$ es gaussiano para cualquier $t_1,\ldots,t_n \geq 0$ , $n \in \mathbb{N}$ . Esto implica que el vector
$$X_n := \bigg( W_t, \sum_{j=1}^n W_{t_j} (t_j-t_{j-1}) \bigg)$$
es gaussiano para cada $n \in \mathbb{N}$ , $t>0$ donde $t_j:= \frac{j}{n} t$ . En $X_n$ converge puntualmente a $(W(t),\int_0^t W(s) \, ds)$ encontramos que esta última es gaussiana como límite puntual de variables aleatorias gaussianas. Como los vectores aleatorios gaussianos están determinados unívocamente por su vector medio y su matriz de covarianza, sólo queda calcular $\mathbb{E}(W_t^2)$ , $\mathbb{E}(I_t W_t)$ , $\mathbb{E}(I_t^2)$ y observar que el vector medio es igual a $0$ .
