Para $f(x, y) = x-y$ es $f(K \times K)$ cerrado si $K$ ¿Está cerrado?

Question

$f: \mathbb{R}\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x, y) = x-y$ . Para $K \subset \mathbb{R}$ cerrado es $f(K\times K)$ ¿Cerrado?

Para el intervalo cerrado esto es directamente cierto y $f([a, b] \times [a, b]) = [a-b, b-a]$ . Además $g:\mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{R})$ donde $g(K) = f(K \times K)$ es un mapa abierto. Esto es cierto ya que cualquier conjunto abierto es la unión contable de intervalos abiertos y $g((a, b)) = (a-b, b-a)$ .

Answer 1

En general, para los $K$ el conjunto $f(K\times K)$ no está cerrado. Un ejemplo sencillo:

$$K = \{ n + 2^{-(n+3)} : n \in \mathbb{N}\}.$$

Entonces $1 \in \overline{f(K\times K)} \setminus K\times K$ .