QFT para aficionados superdotados ejemplo 2.5

Question

Del QFT para aficionados superdotados Libro pág. 25, ejemplo 2.5:

Comenzamos transformando de Fourier ambos $x_j$ y $p_j$ escribiendo $$x_j=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k\tilde{x}_k e^{ikja},$$ $$p_j=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k\tilde{p}_k e^{ikja},$$ y equivalentemente por supuesto $$\tilde{x}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_j x_j e^{-ikja},$$ $$\tilde{p}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_j p_j e^{-ikja}.$$ Imponemos condiciones de contorno periódicas que obligan a $e^{ikja}=e^{ik(j+N)a}$ . La onda vector $k$ toma por tanto los valores $2\pi m/Na$ donde $m$ es un entero en el rango $-N/2 < m < N/2$ . Tenga en cuenta que $$\sum_j e^{ikja}=N\delta_{k,0}.$$

¿Cómo puede demostrarse explícitamente que $\sum_j e^{ikja}=N\delta_{k,0}$ ?

Answer 1

Así que $\sum_{j=1}^N e^{ikja}= \sum_{j=1}^N e^{2 \pi i m j /N}$ donde $m$ es un número entero.

La suma de una serie geométrica $ar,...ar^n$ est $\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ para $r \neq 1$ . En nuestro contexto, $r=e^{2\pi i m /N}$ y $n=N$ que conduce a $r^N=1$ . Por lo tanto, el numerador de nuestra suma geométrica y por lo tanto la propia suma geométrica es cero a menos que $r=1$ que ocurre cuando $m=0$ o equivalentemente $k=0$ . Para $k=0$ se ve fácilmente que cada término de la serie es $1$ que nos da el resultado deseado.