una función integrable es también integrable en sus subparticiones

Question

Supongamos que f es integrable en [a,b]. ¿Cómo podemos demostrar que f es integrable en cada intervalo $[c,d]\subseteq [a,b]$ ?

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Si f es integrable en [a,b] entonces sabemos para cualquier $\epsilon > 0 \text{ } \exists \text{ a partition on [a,b] such that } U(f,p) - L(f,p) < \epsilon$

Si consideramos P = [c,d] como un $\textbf{sub-partition of}$ Q = [a,b], entonces podemos decir:

$$ L(f,P) \le L(F, Q) \le U(F,Q) \le U(F,P) $$

Pero en realidad esto es inútil y no nos ayuda.

Le agradezco su orientación.

Answer 1

Por tu pregunta parece que te refieres a Riemann integrable. Una forma, ciertamente exagerada, es utilizar el teorema de Riemann-Lebesgue: $f:I\to \mathbb R$ donde $I$ es un intervalo en $\mathbb R$ es integrable de Riemann si y sólo si, $f$ está acotada y su conjunto de discontinuidades tiene medida de Lebesgue $0$ . Si $J \subseteq I$ es un subintervalo de $I$ entonces el conjunto de discontinuidades de $f$ en $J$ es claramente un subconjunto del conjunto de discontinuidades de $f$ en $I$ y puesto que es trivial que un subconjunto de un conjunto de medida de Lebesgue $0$ tiene su propia medida $0$ el resultado es inmediato.

Sin embargo, se puede dar una prueba más elemental y directa. Utilizando el criterio de integrabilidad de Cauchy, se obtiene una demostración directa.