¿Cómo simplifica el Teorema de la Función Enmarcada la Teoría de Cerf?

Question

Descomposición en asas de una variedad $M$ es una estructura útil para llevar encima. Está inducida por un Función Morse $f\colon\, M\to \mathbb{R}$ .

¿Cómo se descomponen dos asas de $M$ relacionados? Resulta que el espacio de las funciones de Morse no es conexo. Pero si se amplía el espacio de las funciones de Morse para incluir funciones $g\colon\, M\to \mathbb{R}$ que son Morse en todos los tiempos excepto en los finitamente degenerados, en los que se producen singularidades de nacimiento-muerte, entonces se obtiene un espacio conexo, mediante Teorema de Cerf . Así que dos funciones Morse cualesquiera $F_{0,1}$ están conectadas por una familia de funciones de Morse generalizadas de 1 parámetro $f_t$ con $t\in[0,1]$ desprovistas de las peores singularidades, pero que siguen teniendo singularidades "leves" de codimensión 1. Hemos avanzado. Sin embargo, el patrón global de cruces y singularidades de nacimiento-muerte como $t$ va desde $0$ a $1$ aún podría estar bastante involucrado. Este patrón puede visualizarse como una curva en $I\times \mathbb{R}$ llamado gráfico Cerf (véase Por ejemplo Kirby-Gay ). Nuestro siguiente objetivo es simplificar el gráfico de Cerf, para deshacernos del mayor número posible de cruces y singularidades de nacimiento-muerte. Esto implica otra expansión de nuestro espacio de funciones, esta vez permitiendo umbilicales elípticas e hiperbólicas, y colas de golondrina, que son peores tipos de singularidades.

Una idea alternativa para incrustar el espacio de las funciones de Morse en un espacio conexo de funciones, que no implica colas de golondrina y umbilicales, es introducir funciones enmarcadas. Una función enmarcada es una función de Morse generalizada (Morse en todos los tiempos menos en un número finito de tiempos degenerados, en los que se producen singularidades de nacimiento-muerte), junto con un enmarcado ortonormal del espacio eigénico negativo en el hessiano de la función $f$ en cada punto crítico de $f$ . Sorprendentemente, resulta que el espacio de las funciones enmarcadas es conexo y contractible (véase Por ejemplo esta pregunta MO ). Se trata de (una versión de) el Teorema de la función enmarcada.

Es una tontería, pero me cuesta entender cómo encaja todo ahora. Estoy interesado en el contexto de las TQFT, en el que me gustaría cortar un colector con frontera en trozos sencillos utilizando una función de altura (en particular, estoy trabajando con colectores compactos en lugar de con colectores cerrados). Para ello, mis funciones de Morse tienen que ser especialmente buenas, en el sentido de que no deben tener superficies planas que crucen el límite, porque entonces el corte crearía esquinas.

¿Cómo simplifica el Teorema de la Función Enmarcada la Teoría de Cerf? ¿La sustituye por completo (en el sentido de que puedo utilizar el Teorema de la Función Enmarcada en lugar del Teorema de Cerf para demostrar el Teorema de Kirby (o prácticamente cualquier otra cosa para la que se utilice el Teorema de Cerf), por ejemplo), porque ya no necesito colas de golondrina ni umbilicales elípticas e hiperbólicas?

Hago esta pregunta sobre todo para motivarme a entender mejor las funciones enmarcadas. Primero me gustaría entender cómo encajan exactamente en la historia general.

Answer 1

El teorema de la función enmarcada te dice que hasta la "elección contráctil" una variedad compacta admite una función enmarcada: es decir, una función como tú prescribes. Además, se supone que una función enmarcada te da una estructura de celda en la variedad hasta la elección contractible.

Nota: Los datos de encuadre sirven para coordinar explícitamente las celdas.

(En realidad, Igusa sólo demostró que el espacio de funciones enmarcadas es $n$ -conectado, donde $n$ es la dimensión de la variedad del dominio, pero se supone que las ideas de Eliashberg dan contractibilidad).

Se supone que esto da lugar a una demostración alternativa del célebre teorema de Waldhausen $$A(X) \simeq Q(X_+)\times \text{Wh}^{\text{diff}}(X).$$

Una idea de la prueba es más o menos la siguiente: supongamos por simplicidad que $X =\ast$ es un punto. Entonces existe un modelo (el "espacio de expansión") para $\text{Wh}^{\text{diff}}(\ast)$ que es un espacio de moduli de complejos celulares finitos, contractibles y basados. Es decir, un punto del espacio de expansión es un complejo de celdas finito contractible y la topología se define de modo que las perturbaciones son de tres tipos: (1) celdas que se deslizan unas sobre otras, (2) un refinamiento del ordenamiento parcial de las celdas y (3) una expansión/contracción elemental.

Supongamos ahora que $p : E \to B$ es un haz de fibras lisas cuyas fibras son variedades contractibles $E_t$ (para $t\in B$ por ejemplo, un paquete de $h$ -cobordismos de un disco es un caso de este tipo). Entonces el teorema de la función enmarcada implica que $E$ puede equiparse con una función enmarcada en fibras $f: E \to \Bbb R$ .

Ahora viene el paso difícil: la función enmarcada en cada $f_t: E_t\to \Bbb R$ se supone que da lugar a una estructura celular basada en $E_t$ que varía continuamente en $t$ estos son se supone que equivalen a una familia parametrizada de complejos celulares, es decir, un mapa $B \to \text{Wh}^{\text{diff}}(*)$ .

Por desgracia, ninguna de estas ideas ha aparecido (hay un preprint de Igusa y Waldhausen que se supone que hace precisamente esto, pero nunca se publicó). En mi tesis doctoral (escrita en 1989 bajo la dirección de Igusa), conseguí dar los detalles de la construcción geométrica de la familia de complejos celulares en el caso especial de una función de Morse enmarcada en fibras, es decir, supuse que no había singularidades de nacimiento/muerte en la familia. La familia de complejos celulares asociada tenía deslizamientos celulares pero no expansiones/colapsos elementales.