Ampliación de $\mathcal{L}(\phi'(x'),\partial_\mu'\phi'(x'),x')$ al mirar la corriente de Noether

Question

Acabo de preguntar esto pregunta sobre la aplicación de la teoría de Noether. Pensar en esto me hizo preguntarme lo siguiente. En la derivación habitual de la corriente de Noether se supone que:

$$\mathcal{L}(\phi'(x'),\partial_\mu'\phi'(x'),x')=\mathcal{L}(\phi(x),\partial_\mu\phi(x),x)+\delta x^\mu\partial_\mu\mathcal{L}(\phi(x),\partial_\mu\phi(x),x).\tag{1}$$ Esto se suele demostrar considerando que el Lagrangiano es una función de $x$ sólo entonces, la afirmación de que:

$$\mathcal{L}(x')=\mathcal{L}(x)+\delta x^\mu\partial_\mu\mathcal{L}(x)\tag{2}$$

se cumple por expansión trivial de Taylor. Pero por lo que puedo decir esta derivación está haciendo la suposición de que: $$\phi'(x')=\phi(x').\tag{3}$$ He visto que (1) se utiliza en casos en los que no es así. Así que por favor alguien puede explicar por qué (1) se mantiene para un mapeo general $\phi(x) \mapsto \phi'(x')$

Answer 1

Una variación general $^1$ $$ \delta {\cal L}~=~\delta_0 {\cal L} + \delta x^{\mu}~d_{\mu}{\cal L} \tag{A}$$ de la densidad lagrangiana ${\cal L}$ es una suma de

1. a vertical $^2$ variación $$\delta_0 {\cal L} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi^{\alpha}} ~\delta_0\phi^{\alpha} +\frac{\partial {\cal L}}{\partial \phi^{\alpha}_{,\mu}} ~d_{\mu}\delta_0\phi^{\alpha}\tag{B}$$ (que faltan en las ecuaciones (1) y (2) de OP), y

2. un término de transporte $$\delta x^{\mu}~d_{\mu}{\cal L}\tag{C}$$ de una horizontal $^2$ variación $\delta x^{\mu}$ .

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$^1$ Para simplificar, en esta respuesta sólo consideraremos infinitesimal variaciones/transformaciones.

$^2$ Para la terminología, véase, por ejemplo, mi respuesta en Phys.SE ici .