$\sum\limits_{k=1}^{\infty} {1 \over k}{1 \over 2k-1}$ cómo demostrar que esto es $ 2 \ln 2 $?

Question

Tal vez estoy bloqueado en la actualidad, creo que me había hecho a mí mismo hace algunas semanas, pero no puede encontrar o recuperar la derivación de esta igualdad:
$$\sum_{k=1}^{\infty} {1 \over k}{1 \over 2k-1} = 2 \ln 2 $$
Tengo el resultado en mi cuaderno de dibujo y acaba en Wolfram Alpha, que es el correcto. Pero no recuerdo cómo lo hice encuentra; la aproximación numérica necesita mucho más que yo uso normalmente para una heurística. Así que tal vez me he tomado esto de Wolfram Alpha desde el principio; pero de todos modos: creo que la derivación no puede ser demasiado difícil. Estoy atascado en el momento - podría alguien ayudar con la derivación?

Answer 1

$$\ln2=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}\frac{1}{2k-1}\;.$$

Answer 2

Expandir ${1 \over k}{1 \over 2k-1}$ en fracciones parciales a ${2 \over 2k-1}-{1 \over k}$. Hacer algunos cancelación y terminar con el doble de la serie armónica alternante, que converge a $\ln 2$.