Irracionalidad de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} r^{-n^{2}}$ para cada número entero $r > 1$

Question

En el prefacio de Introducción a la teoría algebraica de la independencia Yuri V. Nesterenko menciona la serie $$f(r) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{r^{n^{2}}}$$ que fue introducido como ejemplo por Joseph Liouville en 1851, quien demostró que $f(r) $ es irracional para todos los números enteros $r>1$ .

Parece que la prueba es elemental como las pruebas de Liouville para la irracionalidad de $e^{2}$ y $e^{4}$ discutido en mi blog puestos . ¿Existe alguna forma sencilla de demostrar la irracionalidad de $f(r) $ ? ¿O quizás una referencia sobre la prueba de Liouville?

Answer 1

He encontrado esta prueba que suena como algo que Liouville habría hecho. Vamos:

$$\mathcal{L}=\sum_{h=1}^\infty r^{-h^2}$$ $$\frac p{r^{n^2}} = \sum_{h=1}^n r^{-h^2}$$ $$r^{-(x-1)^2}\geq r^{\lfloor x \rfloor ^2}$$ $$\int_n^\infty r^{-(x-1)^2}dx\geq\int_n^\infty r^{\lfloor x \rfloor ^2}dx=\sum_{h=n}^\infty r^{-h^2}$$ $$\ln(r)^{-1/2}\int_{n\ln(r)^{1/2}}^\infty e^{-y^2}dy\geq \sum_{h=n+1}^\infty r^{-h^2}=\mathcal{L}-\frac p{r^{n^2}}$$ Este límite se debe a wolfram alfa: $$\lim_{n\to\infty}r^{n^2}\int_{n\ln(r)^{1/2}}^\infty e^{-y^2}dy=\lim_{x\to\infty}e^{x^2}\int_x^\infty e^{-y^2}dy=0$$ Entonces $$r^{n^2}\left(\mathcal L -\frac p{r^{n^2}}\right)\leq \ln(r)^{-1/2}r^{n^2}\int_{n\ln(r)^{1/2}}^\infty e^{-y^2}dy=\epsilon$$ Dónde $\epsilon$ puede hacerse arbitrariamente pequeño. Entonces $$0<\mathcal L -\frac p{r^{n^2}}\leq\frac \epsilon {r^{n^2}}$$ Sea $r^{n^2}=q$ . Si $\mathcal L$ fueran racionales, digamos $\frac ab$ $$0<\frac ab-\frac pq=\frac{aq-bp}{bq}\leq \frac\epsilon q$$ $$aq-bp>0$$ $$aq-bp\leq\epsilon b$$ El LHS es un número entero positivo, y el RHS puede hacerse arbitrariamente pequeño. Contradicción.