Un lugar donde su construcción es de utilidad fundamental es la teoría geométrica de grupos. Es posible que haya oído hablar de la paradoja de Banach-Tarski: uno puede desmontar una bola en un espacio tridimensional, en un número finito de piezas, y luego mover las piezas (a través de rotaciones y traslaciones) y volver a montarlas como dos bolas, cada una del tamaño de la original.
Una de las ideas clave es considerar un par de rotaciones de la pelota, $A,B$ tal que cada secuencia de rotaciones (por ejemplo, palabra en las letras $A,B$ ) da lugar a una rotación diferente. La cuestión aquí es que podemos dividir todas las palabras en las letras $A,B$ en los que comienzan $A$ y los que empiezan $B$ . Denotemos estos conjuntos de palabras $W_A,W_B$ respectivamente. A continuación, se elimina la primera letra de cada palabra en $W_A$ obtenemos una copia completa de todas las palabras. Del mismo modo, eliminando la primera letra de cada palabra en $W_B$ obtenemos todas las palabras.
Hasta aquí es una explicación muy vaga, pero veamos con más detalle por qué esto no funciona para el disco perforado, y veremos cómo tu idea es clave para ello.
Supongamos que podemos dividir los números enteros en un número finito de conjuntos $A_1,\cdots,A_n,B_1,\cdots,B_m$ tal que tenemos enteros $a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots,b_m$ y los conjuntos transled $a_1+A_1, \cdots,a_n+A_n$ forman una partición disjunta de los números enteros, al igual que los conjuntos trasladados, $b_1+B_1, \cdots,b_m+B_m$ .
Entonces $\theta$ sea un número irracional, entonces el $\{e^{2\pi ir\theta}|\,r\in \mathbb{Z}\}$ forman un subgrupo (isomorfo a los números enteros) de los números complejos unitarios bajo multiplicación. Sea $X$ sea un sistema completo de representantes de cosets para este subgrupo (necesitamos el axioma de elección para garantizar que existe). Sea $\hat{X}$ denotan todos los números complejos de la forma $\lambda x'$ con $\lambda\in (0,1]$ y $x'\in X$ .
Entonces cada punto del disco perforado $\{z\in\mathbb{C}|\,\,0<|z|\leq 1\}$ puede escribirse unívocamente de la forma $e^{2\pi ir\theta} x$ para algún número entero $r$ y $x\in \hat{X}$ .
Entonces podemos dividir el disco perforado en trozos: $$D_j=\{e^{2\pi ir\theta} x|\,\, r\in A_j, x\in \hat{X}\},\,\,{\rm and}\,\,E_k=\{e^{2\pi ir\theta} x|\,\, r\in B_k, x\in \hat{X}\}.$$
A continuación, girando cada $D_j$ multiplicando por $e^{2\pi ia_j\theta}$ y volviendo a montar obtenemos una copia completa del disco perforado. Del mismo modo traduciendo todos los $E_k$ añadiendo digamos $3$ a cada número complejo en cada $E_k$ y, a continuación, girando cada $E_k$ por $e^{2\pi ib_k\theta}$ obtenemos otra copia del disco perforado.
La cuestión es que si pudiéramos dividir los números enteros en $A_j,B_k$ como arriba, entonces podríamos duplicar el disco perforado, de la misma manera que podemos duplicar un $3$ bola dimensional. Sin embargo, resulta que el área se comporta de forma diferente al volumen, y no puede duplicarse de esta manera. En particular, los números enteros se comportan de forma diferente a las palabras de dos letras, y no pueden duplicarse de la misma manera.
La prueba de que la descomposición en $A_j,B_k$ es imposible es básicamente tu idea de "cardinalidad alternativa". En primer lugar, como ahora estamos trabajando con los números enteros, los rangos deben ser $-N,\cdots,N$ . Además, como he mencionado en los comentarios, las proporciones no siempre convergen. Sin embargo, todos los coeficientes se encuentran en $[0,1]$ así que por el teorema de Bolzano-Weierstrass, tienen subsecuencias convergentes. Usamos la noción de ultralímite para elegir un límite particular.
Resulta que con estas modificaciones en su construcción $|S_1 \cup S_2|=|S_1|+|S_2|$ para subconjuntos disjuntos $S_1,S_2$ de los números enteros, $|\mathbb{Z}|=1$ y $|S+k|=|S|$ para cualquier subconjunto $S$ de los números enteros, y entero $k$ .
Entonces: \begin{eqnarray*} 1&=&|\mathbb{Z}|\\&=&\sum_{j=1}^n|A_j|+\sum_{k=1}^m|B_k|\\ &=&\sum_{j=1}^n|a_j+A_j|+\sum_{k=1}^m|b_k+B_k|\\ &=&|\mathbb{Z}|+|\mathbb{Z}|=1+1=2, \end{eqnarray*} dando la contradicción deseada.
He aquí algunos enlaces wiki sobre las diversas ideas debatidas:
Paradoja de Banach-Tarski
Ultralímite
F $\emptyset$ lner Secuencia (son una generalización de la gama $-N,\cdots,N$ )
Grupo Amenable
