Integrar dos veces una ecuación vectorial

Question

La pregunta es: Un vector $\overrightarrow{R}(t)$ es función de la variable t, integre dos veces la siguiente ecuación $\frac{\text{d}^{2}\overrightarrow{R}(t)}{\text{d}t^{2}}\cdot\overrightarrow{R}(t)+\frac{\text{d}\overrightarrow{R}(t)}{\text{d}t}\cdot\frac{\text{d}\overrightarrow{R}(t)}{\text{d}t}=0$ y demostrar que $|\overrightarrow{R}|=\sqrt{Ct+D}$ siendo C, D las constantes de integración.

Hasta ahora sólo he conseguido la primera integración utilizando lo siguiente: $\frac{\text{d}^{2}\overrightarrow{R}(t)}{\text{d}t^{2}}\cdot\overrightarrow{R}(t)+\frac{\text{d}\overrightarrow{R}(t)}{\text{d}t}\cdot\frac{\text{d}\overrightarrow{R}(t)}{\text{d}t}=0\Leftrightarrow\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\frac{\text{d}\overrightarrow{R}(t)}{\text{d}t}\cdot\overrightarrow{R}(t))=0\Leftrightarrow\frac{\text{d}\overrightarrow{R}(t)}{\text{d}t}\cdot\overrightarrow{R}(t)=C$ .

Y aquí estoy atascado, así que cualquier ayuda será más que aceptada, gracias por vuestro tiempo.

Answer 1

SUGERENCIA:

Obsérvese que podemos escribir

$$\begin{align} \frac{d^2\vec R(t)}{dt^2}\cdot \vec R(t)+\frac{d\vec R(t)}{dt}\cdot \frac{d\vec R(t)}{dt}&=\frac{d}{dt}\left(\vec R(t)\cdot \frac{d\vec R(t)}{dt}\right)\\\\ &=\frac12\frac{d^2\,\left|\vec R(t)\right|^2}{dt^2} \end{align}$$

Answer 2

Para el otro paso, observe que

$$ \frac{d}{dt} |\vec{R}(t)|^2 = \frac{d}{dt} \left( \vec{R}(t) \cdot \vec{R}(t) \right) = \frac{d}{dt} \vec{R}(t) \cdot \vec{R}(t) + \vec{R}(t) \cdot \frac{d}{dt} \vec{R}(t) = 2 \left( \frac{d}{dt} \vec{R}(t) \cdot \vec{R}(t) \right). $$