Emily Riehl escribe al principio del capítulo 2.4 (en Category theory in context) sobre la propiedad universal:
Más precisamente, existe un isomorfismo único entre c y cualquier otro objeto representativo de F que conmuta con las representaciones elegidas.
Para estar seguros, ¿a qué plaza se refiere exactamente?
Mis pensamientos: Tenemos dos objetos universales $c,d$ y dos representaciones elegidas (isomorfismos naturales) $\alpha : C(c, -) \Rightarrow F, \beta : C(d, -) \Rightarrow F$ . Y que $f:c \rightarrow d$ sea un isomorfismo. Qué quiere decir ahora con la condición de que debe conmutar con las representaciones elegidas.
Ahora no estoy seguro de lo que debe conmutar.
Primera suposición: $\forall k \in C: \beta_k(g) = \alpha_k(gf) = \alpha_k(f^*(g))$
Segunda suposición: $Ff(\alpha_c(1_c)) = \beta_d(f) = (\beta \cdot f^*)_d(1_d)$
¿Es una de ellas correcta o ninguna y por qué?
¡Muchas gracias!
