Definición elemental del tensor tensión-energía $T_{\mu\nu}$ en términos de la Lagrangiana para el espaciotiempo plano es $$T^{\mu\nu}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}(\partial^\nu\phi)-\eta^{\mu\nu}\mathcal{L}.$$ Para las simetrías traslacionales del espaciotiempo tanto $T^{\mu\nu}$ se conserva: $$\partial_\mu T^{\mu\nu}=0.$$
Pero $T_{\mu\nu}$ no siempre es automáticamente simétrica en los índices $\mu,\nu$ . Por lo tanto, se considera un tensor tensión-energía modificado $\Theta_{\mu\nu}$ definido como $$\Theta^{\mu\nu}:=T^{\mu\nu}+\partial_\kappa A^{\kappa\mu\nu}$$ donde $A^{\kappa\mu\nu}$ es un tensor arbitrario antisimétrico en los índices $\kappa,\mu$ . Esto también satisface $$\partial_\mu\Theta^{\mu\nu}=0.$$
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¿Qué necesidad hay de definir un tensor de tensión-energía simétrico? ¿Qué ocurre si sigo trabajando con $T^{\mu\nu}$ en lugar del tensor modificado $\Theta^{\mu\nu}$ ?
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Tampoco está claro cómo se elegiría el tensor $A^{\kappa\mu\nu}$ de forma única para simetrizar $T^{\mu\nu}$ y encontrar un $\Theta^{\mu\nu}$ .
