Si $\limsup_{p\to\infty}\|u\|_p\le C$ , $u\in L^p(\Omega)$ entonces $u\in L^{\infty}(\Omega)$ ?

Question

Sea $|\Omega |<\infty$ , $u\in L^p(\Omega)$ para todos $1\le p<\infty$ y $\limsup_{p\to\infty}\|u\|_p\le C$ para una constante $C\in\mathbb{R}$ . Cómo demostrar $u\in L^{\infty}(\Omega)$ ? Es para demostrar que $\|u\|_{\infty}<\infty$ pero no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Supongamos que $\mu( \{ |f| > 2C \} ) =a > 0$ entonces

$$\| f\|_p \geq \left( \int_{\{ |f| > 2C \}} |f(x)|^p dx\right)^{\frac{1}{p}} \geq a^\frac{1}{p} 2C $$

Pero $\limsup \|f\|_p = C$ y $\lim a^\frac{1}{p} 2C = 2C > C$ : contradicción.

Answer 2

Desigualdad de Jensen implica que $$ \left(\frac1{|\Omega|}\int_\Omega\left|f(x)\right|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p}=\frac{\|f\|_{L^p(\Omega)}}{|\Omega|^{1/p}}\tag{1} $$ es una función creciente de $p$ .

Desde $$ \int_\Omega\left|f(x)\right|^p\mathrm{d}x\le|\Omega|\,\|f\|_{L^\infty(\Omega)}^p\tag{2} $$ tenemos que $$ \lim_{p\to\infty}\|f\|_{L^p(\Omega)} =\lim_{p\to\infty}\left(\frac1{|\Omega|}\int_\Omega\left|f(x)\right|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} \le\|f\|_{L^\infty(\Omega)}\tag{3} $$ Supongamos que $$ \mu=\left|\left\{x:\left|f(x)\right|\ge\alpha\right\}\right|\gt0\tag{4} $$ Entonces $$ \begin{align} \lim_{p\to\infty}\left(\frac1{|\Omega|}\int_\Omega\left|f(x)\right|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} &\ge\lim_{p\to\infty}\left(\frac{\alpha^p\mu}{|\Omega|}\right)^{1/p}\\ &=\alpha\lim_{p\to\infty}\left(\frac{\mu}{|\Omega|}\right)^{1/p}\\[3pt] &=\alpha\tag{5} \end{align} $$ Si $\alpha\lt\|f\|_{L^\infty(\Omega)}$ entonces $(4)$ es cierto. Por lo tanto, $(3)$ y $(5)$ implican que $$ \lim_{p\to\infty}\|f\|_{L^p(\Omega)} =\lim_{p\to\infty}\left(\frac1{|\Omega|}\int_\Omega\left|f(x)\right|^p\mathrm{d}x\right)^{1/p} =\|f\|_{L^\infty(\Omega)}\tag{6} $$