Demostrar que cualquier función continua de valor entero de una variable real es constante.

Question

Estoy atascado en una pregunta que pide demostrar que cualquier función continua de valor entero de una variable real es constante. En mis apuntes de clase nos dicen que un mapa es continuo si la preimagen de cualquier conjunto abierto es abierto.

¿Cómo utilizo esto para responder a la pregunta? Una respuesta completa sería muy apreciada, ya que no puedo encontrar la manera de resolverlo en mi notas, en libros de análisis o en cualquier lugar en línea.

Answer 1

No es necesariamente cierto a menos que el dominio esté conectado.

Si el dominio $X$ está conectado y $f$ es continua, entonces $f(X)$ también está conectado. Los únicos subconjuntos conexos de los números enteros son los conjuntos que contienen como máximo un punto. Por lo tanto, $f(X)$ (que presumiblemente no es vacío) tiene exactamente un punto y $f$ es constante en $X$ .

Otro enfoque consiste en suponer que $y_1=f(x_1), y_2=f(x_2)$ . Supongamos que $y_1\leq y_2$ sin pérdida de generalidad. Entonces por el teorema del valor intermedio, $f$ debe tomar todos los valores de $[y_1,y_2]$ . Sin embargo, como el rango son los números enteros, esto sólo puede ser cierto si $f$ sólo toma un valor.

He aquí un tercer enfoque: Desde $f$ es continua, para cada $x_0$ podemos encontrar un $\delta>0$ tal que si $|x-x_0|<\delta$ entonces $|f(x)-f(x_0)| < \frac{1}{2}$ . Desde $f$ tiene valor entero, lo que significa que $f(x) = f(x_0)$ para todos $|x-x_0|<\delta$ .

Ahora dejemos que $t_+ = \sup \{x | f(x) = f(0)\}$ . Si $t_+<\infty$ entonces, por continuidad, debemos tener $f(t_+) = f(0)$ y por el párrafo anterior, hay un $\delta>0$ tal que $f(x) = f(t_+)$ para todos $x$ satisfaciendo $|x-t_+| < \delta$ lo que contradice la definición de $t_+$ . Por lo tanto $t_+ = \infty$ . Aplicando el mismo planteamiento a $t_- = \inf \{x | f(x) = f(0)\}$ muestra que $t_- = -\infty$ Por lo tanto $f(x) =f(0)$ para todos $x$ .

Answer 2

Supongo que función de una variable real significa una función definida en un intervalo, una semirrecta o toda la recta real, ya que de lo contrario el resultado no es verdadero. Si se le permite utilizar resultados conocidos del cálculo, puede apelar simplemente al teorema del valor intermedio: si $a<b$ , $f(a)=m$ y $f(b)=n\ne m$ elija un número no entero $c$ entre $m$ y $n$ y observe que si $f$ es continua, debe haber algún $x\in(a,b)$ tal que $f(x)=c\notin\Bbb Z$ .

Si no se te permite usar eso, la demostración es sustancialmente más difícil, ya que en efecto tienes que demostrar un caso especial de ese teorema.

Answer 3

Sugerencia

$$f^{-1}\big(\{f(0)\}\big)$$ es cerrado en $\mathbb R$ .