El anillo polinómico no es un UFD

Question

Sea $K$ sea un campo, y consideremos el anillo $R=\{f\in K[x]\mid f'(1)=f''(1)=0\}$ . Demuestre que $R$ no es un UFD (Unique Factorization Domain).

Mis pensamientos: Puedo demostrar que elementos como $(x-1)^3$ y $(x-1)^4$ son irreducibles en $R$ . ¿Se puede utilizar para mostrar $R$ ¿no es un UFD? No sé cuál es el mejor camino. ¿Deberíamos exponer un elemento con una factorización no única en irreducibles, o deberíamos encontrar dos elementos que no tengan un GCD? Otra cosa que podemos hacer, es considerar un cociente de $R$ por un polinomio irreducible y demostrar que tiene divisores cero (por tanto no es un dominio, así que el polinomio que elegimos no es primo, pero todo polinomio irreducible en un UFD debe ser primo).

Answer 1

Tonta de mí. Siguiendo el consejo de @rschwieb, tenemos las factorizaciones no únicas $$(x-1)^{12}=(x-1)^3(x-1)^3(x-1)^3(x-1)^3$$ y $$(x-1)^{12}=(x-1)^4(x-1)^4(x-1)^4$$ en irreducibles. Por lo tanto $R$ no es un UFD. Sólo para añadir este pequeño detalle: $(x-1)^3$ y $(x-1)^4$ son irreducibles en $R$ ya que si no lo fueran, tendrían un factor lineal o cuadrático. Pero cualquier factor lineal o cuadrático tendrá una primera o segunda derivada constante distinta de cero, violando la definición de $R$ .