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El anillo polinómico no es un UFD

Sea $K$ sea un campo, y consideremos el anillo $R=\{f\in K[x]\mid f'(1)=f''(1)=0\}$ . Demuestre que $R$ no es un UFD (Unique Factorization Domain).

Mis pensamientos: Puedo demostrar que elementos como $(x-1)^3$ y $(x-1)^4$ son irreducibles en $R$ . ¿Se puede utilizar para mostrar $R$ ¿no es un UFD? No sé cuál es el mejor camino. ¿Deberíamos exponer un elemento con una factorización no única en irreducibles, o deberíamos encontrar dos elementos que no tengan un GCD? Otra cosa que podemos hacer, es considerar un cociente de $R$ por un polinomio irreducible y demostrar que tiene divisores cero (por tanto no es un dominio, así que el polinomio que elegimos no es primo, pero todo polinomio irreducible en un UFD debe ser primo).

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fred Puntos 153

Tonta de mí. Siguiendo el consejo de @rschwieb, tenemos las factorizaciones no únicas $$ (x-1)^{12}=(x-1)^3(x-1)^3(x-1)^3(x-1)^3 $$ y $$ (x-1)^{12}=(x-1)^4(x-1)^4(x-1)^4 $$ en irreducibles. Por lo tanto $R$ no es un UFD. Sólo para añadir este pequeño detalle: $(x-1)^3$ y $(x-1)^4$ son irreducibles en $R$ ya que si no lo fueran, tendrían un factor lineal o cuadrático. Pero cualquier factor lineal o cuadrático tendrá una primera o segunda derivada constante distinta de cero, violando la definición de $R$ .

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