Configuración de cinco o más puntos equidistantes entre sí en el espacio.

Question

Cómo se demuestra que no existe ninguna configuración de cinco o más puntos mutuamente equidistantes en $R^3$ ?

¿Se hace por inducción? Estoy atascado. Se agradecería ayuda. Bueno, seguramente el poliedro equilátero funciona.

Answer 1

Debería ser obvio que las configuraciones para 3 y 4 puntos son el triángulo equilátero y el tetraedro equilátero.

Ahora intenta añadir otro punto a la configuración del tetraedro. Sólo hay un punto que tiene la misma distancia a todos los vértices: el centroide. Pero la distancia del centroide a un vértice no es igual a la longitud de las aristas. Por lo tanto, no existe tal configuración para 5 puntos.

Answer 2

Podemos comprobar por inducción que la única forma de colocar $n+1$ puntos equidistantes en $\mathbb{R}^n$ es tomar los vértices de un simplex regular. Entonces, no habrá lugar para $n+2$ punto.

Answer 3

Puede haber posibilidades es los parámetros permiten la cuarta dimensión. De lo contrario, el problema no es configurable