Si la serie de potencias converge a 0 $\forall$ $x \in (-R,R)$ entonces $a_n$ es $0$ para todos $n$

Question

Supongamos que $$\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}x^{n}$$
converge para $x \in (-R,R)$ .
Demuestre que si $f(x)=0$ para todos $x \in (-R,R)$ entonces $a_n=0$ para todos $n$ .

Cuando miro esto , mi conjetura es que la respuesta implica mostrar que el radio de convergencia es infinito?
es decir, mostrando $R=\infty$ . ¿Es éste un planteamiento correcto?

Answer 1

Supongamos que para algunos $N\geqslant 1$ tenemos $a_1=\dots=a_{N-1}=0$ y $a_N\neq 0$ . A continuación, escriba $$|a_Nx^N|=\left|\sum_{k=1}^Na_kx^k\right|\leqslant \left|\sum_{k=N+1}^\infty a_kx^k\right|,$$ que da $$\tag{$ \estrella $}|a_Nx^N|=|x^{N+1}|\left|\sum_{k=0}^\infty a_{N+1+k}\cdot x^k\right|.$$ Utilizando el hecho de que la serie $\sum_n a_nx^n$ converge en $(-R,R)$ podemos demostrar que la función $x\mapsto \sum_{k=0}^\infty a_{N+1+k}\cdot x^k$ está acotada en una vecindad de $0$ . Utilización de $(\star)$ para $x\neq 0$ y dejar que $x\to 0$ obtenemos una contradicción.