$\phi^{4}$ teoría

Question

Consideremos una teoría de campos escalares con un $\phi^{4}$ término de interacción $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^{2}-\frac{1}{2}m^{2}\phi^{2}-\frac{\lambda}{4!}\phi^{4},$$ donde $\lambda\ll 1$ .

Me confunde la siguiente afirmación, que figura en la p.49 de Notas QFT de David Tong :

'Podemos hacernos una idea de cuáles serán los efectos de esta legislatura extra. Ampliando a $\phi^{4}$ en términos de $a_{\mathbf{p}}$ y $a^{\dagger}_{\mathbf{p}}$ vemos una suma de interacciones del tipo $a^{\dagger}_{\mathbf{p}}a^{\dagger}_{\mathbf{p}}a^{\dagger}_{\mathbf{p}}a^{\dagger}_{\mathbf{p}}$ y $a^{\dagger}_{\mathbf{p}}a^{\dagger}_{\mathbf{p}}a^{\dagger}_{\mathbf{p}}a_{\mathbf{p}}$ etc. Estos crearán y destruirán partículas".

Mis preguntas son:

1. En la teoría de campo libre, podemos expandir $\phi$ en términos de $a_{\mathbf{p}}$ , $a^{\dagger}_{\mathbf{p}}$ como $$\phi(\mathbf{x},t)=\int\frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}}(a_{\mathbf{p}}e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}+a^{\dagger}_{\mathbf{p}}e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}).$$ Sin embargo, una vez añadida la interacción, esta solución ya no es correcta (el MOE de Klein-Gordon tiene un término no lineal adicional). Entonces, ¿por qué utilizamos esto para ampliar el término de interacción?

2. ¿Cómo llevamos a cabo la ampliación? ¿Dónde han ido a parar las integrales?

3. ¿Cómo pueden esos términos crear y destruir partículas más que los términos cuadráticos de $\phi^{2}$ ¿lo haría?

Answer 1

Creo, que la frase que citas pretende dar una idea aproximada sobre el significado intuitivo del $\phi^4$ término, no verificable computacionalmente.

1. La solución de la teoría libre (sin el término de interacción) es lo que define cosas como "partículas" y propagadores. $a^\dagger$ como se define en la expansión de la teoría libre crea una partícula libre. Normalmente, si se considera un proceso de dispersión, antes de que se produzca la dispersión propiamente dicha las partículas se consideran libres.

2. Siguen ahí. Normalmente la expansión no se hace en el Lagrangiano, sino cuando se escribe una amplitud de dispersión. Entonces las contracciones de los operadores creador y aniquilador darán lugar a conmutadores que producirán distribuciones delta que consumen las integrales de momento.

3. No estoy seguro de haber entendido bien la pregunta, pero si echas un vistazo a las reglas de Feynman para los diferentes términos del Lagrangiano, verás que a $\phi^4$ corresponde a un vértice con cuatro patas, mientras que el Lagrangiano libre (que es cuadrático en el campo) corresponde a un propagador con dos patas. Así pues, el número de patas de una regla de Feynman corresponde a la potencia del campo en el término correspondiente.

Answer 2

Analicemos el comentario de Tong en su contexto, es decir, empecemos a leer el capítulo 3 desde el principio.

Está discutiendo campos interactuantes, y comienza escribiendo un Lagrangiano que presenta potencias arbitrariamente altas de $\phi$ . Sin embargo, puesto que en un $4$ -la dimensión energética de $\lambda_n$ es $4-n$ se deduce que $\lambda_n$ con $n>4$ se suprimen a bajas energías, a saber. $\lambda_n=g_n\Lambda^{4-n}$ con $\Lambda$ una escala de energía de la nueva física. Así, a una energía $E\ll \Lambda$ obtenemos $\lambda_n\propto \left(\frac{E}{\Lambda}\right)^{n-4}$ que es pequeño para $n>4$ . Esta observación motiva una clasificación de los coeficientes como relevantes, marginales o irrelevantes si sus dimensiones energéticas son respectivamente positivas, nulas o negativas. (El término "relevante" significa "dominante a las escalas que hemos sondeado"; "marginal" significa "independiente de la escala, por tanto dominante ni a altas ni a bajas energías"). Tong señala que el hecho de que sólo un número finito de términos sean relevantes o marginales simplifica la QFT.

Luego llegamos al comentario por el que preguntabas, en el que habla de cómo varias teorías ( $\phi^4$ siendo la primera) se comportan ante pequeñas perturbaciones. Ha desechado acoplamientos irrelevantes, pero $\phi^4$ se ha mantenido, y es el único término de este tipo que no está también presente en el caso de los campos libres. Recuperamos el caso de campo libre como $\lambda_4\to 0$ por lo que el $\phi^4$ teoría con pequeñas $\lambda_4$ es una perturbación en torno a la teoría de un campo libre, lo que hace que su representación integral de $\phi$ aproximadamente válida. La expresión exacta para $\phi$ por lo tanto, añade $\lambda_4$ -que, en comparación con la integral original, son bastante pequeños. Por lo tanto, sigue siendo razonable pensar en lo que ocurre con los elementos matriciales de los monomios operadores de escalera.

Answer 3

1. Se pasa a la "imagen de interacción" de la mecánica cuántica, en la que los operadores se dan en términos de operadores estáticos de Schrodinger como ( $H_0$ es el Hamiltoniano libre, $H_I$ es el término de interacción, $H=H_0+H_I$ es el Hamiltoniano completo):

$$A_I = e^{iH_0t}A_Se^{-iH_0t}$$

y los estados se dan en términos de estados estáticos de Heisenberg como:

$$|\psi_I(t)\rangle = e^{iH_0t}e^{-i(H_0+H_I)t}|\psi_H\rangle.$$

A continuación, puede demostrar que $U_{int} \equiv e^{iH_0t}e^{-i(H_0+H_I)t}$ viene dada por una expansión en serie de Dyson en $H_I$ :

$$U_{int} = \exp\left(-i\int e^{iH_0t}H_Ie^{-iH_0t}\ dt\right)$$

y generalmente decimos $H_{int} \equiv e^{iH_0t}H_Ie^{-iH_0t}$ . Está en la sección 3.1 de las notas de David Tong, pero la sección 4.2 de Peskin y Schroeder tiene una discusión más detallada que me pareció útil.

2. Te expandes $U_{int}$ como "serie Dyson":

$$U_{int} = 1 - i\int dt' H_{int}(t') + (-i)^2 \int dt' \int dt'' H_{int}(t') H_{int}(t'') + \cdots$$

En $n$ de esta serie corresponde a una familia de diagramas de Feynman, todos ellos con $n$ vértices.

3. No lo hacen, sólo dan lugar a una ecuación de movimiento no lineal. $\phi^2$ dan términos lineales en la ecuación de Klein Gordon, por lo que basta con mirar las soluciones de onda plana (y se encuentra que estas $\phi^2$ dan lugar esencialmente a un término de masa en la relación de dispersión). Si se quiere estudiar un comportamiento más complejo que solemos denominar "interacción", se necesitan potencias más elevadas.