1.
Por el desplazamiento de la línea de la integración de positivo a la negativa de la mitad de plano complejo, uno se encierra el polo $s=0$ por un rectángulo. Esto da lugar a un residuo, dos horizontales integrales de línea, y una línea vertical integral. Uno, a continuación, la estimación de las tres integrales de línea y ver de que son aceptables los términos de error. El término principal es el residuo, que es recuperado por la integral a lo largo del círculo $|s|=1/L$.
2.
Los que no. de los factores primos de a $d$ es
$=\sum_{p|d}1\leq\sum_{p\leq\log x}1+\sum_{p|d, p>\log x}1$. La primera suma es $\ll \frac{\log x}{\log\log x}$ por el primer número teorema. La segunda suma, se cuenta el número de $m$ del primer factor de $d$, que es mayor que $\log x$. Desde $(\log x)^{m}\!=\!d \Rightarrow m=\frac{\log d}{\log \log x}$, podemos ver que la segunda suma es de nuevo $\ll \frac{\log x}{\log \log x}$.
Por lo tanto $d$ $\ll \frac{\log x}{\log \log x}$ no. de factores primos.
Por lo tanto,
$\prod_{p|d}(1-\frac{v_p}{p^{1+s}})^{-1} = \prod_{p|d}(1+\frac{v_p}{p^{1+s}-v_p})$
$\ll \prod_{p\ll\log x}(1+\frac{v_p}{|p^{1+s}|-v_p})$, donde en el último paso se aplica el teorema de los números primos.
Al $p_0<p\ll\log x$, cada factor en el producto es $\ll(1+\frac{k_0}{p^{1-1/L}-k_0})$.
Desde $1\leq p^{1/L}=e^{\log p/L}\ll 1$, cada factor es $\ll(1+\frac{B}{p})\ll(1+\frac{1}{p})^B$.
Por lo tanto $\theta_1(d,s)$
$\ll \prod_{p\ll\log x}(1+\frac{1}{p})^{B}$.
Tenemos
$\prod_{p<y}(1+\frac{1}{p})\ll \log y$ por Mertens de la fórmula, por lo anterior es $\ll (\log\log x)^B=(\log L)^B$, la cual fue demostrado.
