Ejemplo de dos funciones cuyos límites no existen en a pero sí el límite de su producto

Question

Demuestre con un ejemplo que el $\lim \limits_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)]$ puede existir aunque ninguno de los dos $\lim \limits_{x \to a} [f(x)]$ ni $\lim \limits_{x \to a} [g(x)]$ existe.

Answer 1

Hay un ejemplo del libro antiguo para esta pregunta. Por ejemplo

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if $x\in\mathbb{Q}$} \\ 1 & \text{if $x\notin\mathbb{Q}$} \end{cases} \quad \text{and} \quad g(x) = \begin{cases} 1 & \text{if $x\in\mathbb{Q}$} \\ 0 & \text{if $x\notin\mathbb{Q}$} \end{cases}$$ y observe que $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ y $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)$ no existe, pero como $f(x)g(x)$ es una función constante, por lo que $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)g(x)$ existe.

Answer 2

Considere el límite en $0$ para las funciones:

$$f(x) = \chi_{\mathbb R_{\ge 0}} = \begin{cases} 1 &\text{ for } x \ge 0\\0 &\text{ for } x < 0\end{cases}, \quad g(x) = 1-f(x)$$

entonces ambos $\lim_{x \to 0} f(x)$ y $\lim_{x \to 0} g(x)$ no existen.

Sin embargo $f(x)g(x)\equiv 0$ para todos $x$ Así que $\lim_{x \to 0} f(x)g(x) = 0$ .

Alternativamente, si $a = \pm \infty$ los límites de $\tan x$ y $\cot x$ no existen en $a$ .

Sin embargo $\tan x \cot x \equiv 1$ casi en todas partes, por lo que el límite de su producto es $1$ .

Answer 3

Un ejemplo muy sencillo es $f(x)=\sin(\frac{1}{x-a})$ y $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ entonces tampoco $\lim_{x\to a} f(x)$ ni $\lim_{x\to a} g(x)$ existen, pero claramente $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=1$ . Si desea un ejemplo para $x\to (\pm)\infty$ Sólo toma $f(x)=\sin(x)$ y otra vez $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ .