El vector de términos logarítmicos es linealmente independiente

Question

Deje $\{x_i, 1 \leq i \leq n\}$ y $\{y_i, 1 \leq i \leq n\}$ sean dos secuencias finitas de números reales estrictamente positivos tales que $x_i < x_{i+1}$ y $y_i < y_{i+1}$ . Consideremos la matriz $M$ cuyo elemento (i,j) es \begin{eqnarray} M(i,j) = \log \left(1+ \frac{x_i}{y_j}\right). \end{eqnarray} ¿Es M una matriz de rango completo?

Una idea parcial que he probado es la siguiente. Supongamos que no, entonces existen números $z_j, 1 \leq j \leq n$ tales que no todos sean cero para todos y para todos $1 \leq i \leq n$ \begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n} \log \left(1+ \frac{x_i}{y_j}\right)z_j =0. \end{eqnarray}
Considere la función \begin{eqnarray} f(x) = \sum_{j=1}^{n} \log\left(1+ \frac{x}{y_j}\right)z_j =0, \end{eqnarray} entonces $f(x)$ es cero en n valores distintos, por el teorema del valor medio la derivada de $f(x)$ es cero en $n-1$ valores distintos. La derivada es \begin{eqnarray} f'(x) = \sum_{j=1}^{n} \frac{ z_j}{1+x + y_j}. \end{eqnarray} Quería demostrar que la derivada es una función racional y puede tener como máximo $n-1$ ceros y contadict el resultado, pero para eso necesitaba la derivada de $f(x)$ sea cero a más de $n-1$ valores distintos.

Creo que tengo la prueba, También se puede observar que la función $f(x)$ es cero en $x=0$ . Por el teorema del valor medio esto proporcionará el punto adicional donde $f'(x) = 0$ completando así la prueba anterior.

Answer 1

Sea $(x_i)_{i=1}^n, (y_j)_{j=1}^n$ sea como el anterior. Suponemos que $(\log(1+x_i/y_j))_{1\leq i,j \leq n}$ no tiene rango completo. Por lo tanto, el núcleo no es trivial y por lo tanto existe $(z_k)_{k=1}^n\in \mathbb{R}^n$ tal que para todo $i\in \{1, \dots, n \}$ tiene

$$ \sum_{j=1}^n \log\left( 1 + \frac{x_i}{y_j} \right) z_j =0.$$

Definimos

$$f(x):= \sum_{j=1}^n \log\left( 1 + \frac{x}{y_j} \right) z_j.$$

Vemos que $f$ tiene al menos $n+1$ ceros. A saber $x_i$ para $i\in \{1, \dots, n \}$ y cero (son distintos como $0<x_i <x_{i+1}$ ). Por el teorema del valor medio obtenemos que $f'$ tiene al menos $n$ ceros. Sin embargo, calculamos

$$ f'(x) = \sum_{j=1}^n \frac{1}{1+\frac{x}{y_j}}\cdot\frac{1}{y_j}\cdot z_j = \sum_{j=1}^n \frac{z_j}{x+y_j} = \frac{1}{\prod_{l=1}^n (x+y_l)} \underbrace{\sum_{j=1}^n z_j \prod_{\substack{k=1\\k\neq j}}^n (x+y_k)}_{=:g(x)}.$$

Tenga en cuenta que $f'(x)=0$ si $g(x)=0$ . Pero $g$ es un polinomio de grado máximo $n-1$ y, por tanto, tiene como máximo $n-1$ ceros (si $g$ no es el polinomio cero). Esto contradice el hecho de que $f'$ tiene al menos $n$ ceros.

Por lo tanto, nos queda demostrar que $g$ no es el polinomio cero. Si $g$ era el polinomio cero, concluimos que $f'$ es idénticamente cero. Esto implicaría que $f$ es constante. Sin embargo, podemos escribir

$$ f(x)= \sum_{j=1}^n \log\left( 1 + \frac{x}{y_j} \right) z_j = \log\left( \prod_{j=1}^n \left( 1 + \frac{x}{y_j} \right)^{z_j} \right).$$

Esto implicaría que

$$h(x):= \prod_{j=1}^n \left( 1 + \frac{x}{y_j} \right)^{z_j} $$

es constante. Sin embargo, se puede calcular fácilmente que $h'(x)>0$ lo que nos da la contradicción deseada.