Diferencia de trayectoria al realizar un experimento de doble rendija en un medio

Question

Considere la situación que se muestra en la figura. Dos rendijas $S_1$ y $S_2$ se colocan simétricamente alrededor de la línea $OP$ que es perpendicular a la pantalla. El espacio entre la pantalla y las rendijas se llena con un líquido de índice de refracción $\mu_3$ . Una placa de espesor $t$ y el índice de refracción $\mu_2$ se coloca delante de una de las rendijas. Una fuente $S$ se sitúa por encima de $OP$ a distancia $d$ . ¿Cuál es la posición de los máximos centrales desde el punto $P$ ?

Mi enfoque:- Primero para la diferencia de trayectoria para un punto general en pantalla, escribí primero la diferencia de trayectoria en el aire como $d\sin(\theta)$ . Después de lo cual, utilizando los supuestos apropiados, supuse $\sin\theta$ como $\tan\theta$ y escribió $\tan\theta=\frac{d}{D}$ lo que da la diferencia de camino en el aire como $\frac{d^2}{D}$ . Ahora la diferencia de trayectoria debida a dos rendijas es $d\sin\theta$ y de nuevo utilizando aproximaciones similares obtenemos la diferencia de trayectoria debida a dos rendijas= $\frac{dY}{2D}$ . Y ahora la función principal es para la diferencia de trayectoria debido a la placa. Escribí la diferencia de trayectoria debida a la placa como $(\frac{\mu_2}{\mu_3}-1)t$ . Y luego sumando todos los términos hasta cero, el valor de $Y$ viene incorrecto. No soy capaz de entender mi error conceptual aquí. Una pequeña pista también sería de gran ayuda.

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Así que según yo, debería haber sido

$$\frac{d^2}{D}+\left(\frac{\mu_2}{\mu_3}-1\right)t+\frac{Yd}{2D}=0$$

La ecuación que da la respuesta correcta es $$\frac{d^2}{D}+(\mu_2-\mu_3)t+\frac{\mu_3Yd}{2D}=0$$

También me he dado cuenta de que después de reordenar un poco es $$\frac{d^2}{D}+\mu_3\left[\left(\frac{\mu_2}{\mu_3}-1\right) t+\frac{Yd}{2D}\right]=0$$

Answer 1

Digamos que estamos tratando de encontrar la diferencia de trayectoria para un punto $Q$ en la pantalla de la derecha. Intentaremos obtener la diferencia de camino óptico entre el camino $SS_1Q$ y $SS_2Q$ . Ahora bien, como bien ha señalado, la diferencia de trayectoria de $SS_1$ y $SS_2$ es $$l_{SS_2}-l_{SS_1}= \frac{d^2}{D}$$ (a partir de aproximaciones geométricas y paraxiales). Ahora, para la diferencia de trayectoria entre $S_1Q$ y $S_2Q$ debemos tener en cuenta que el medio de la derecha tiene un índice de refracción $\mu_3$ (excepto la placa de vidrio que tiene un índice de refracción $\mu_2$ ). Supongamos que el punto $Q$ está por encima de $O$ tal que $OQ=y$ . Ahora, el geométrico diferencia de recorrido entre $S_2Q$ y $S_1Q$ será $$\Delta x \approx d \sin \alpha \approx d\frac{y}{2D}$$ Ahora, al calcular la diferencia de camino óptico entre $S_2Q$ y $S_1Q$ debemos recordar que la luz recorre la distancia $\Delta x$ sur $\mu_3$ no el vacío, y como sabemos, si la luz viaja en un índice de refracción $n$ su longitud de onda será $\lambda \over n$ donde $\lambda$ es la longitud de onda en el vacío y, por lo tanto, el camino óptico debe multiplicarse por $\mu_3$ para tener en cuenta el cambio de fase correspondiente. Además, la losa de espesor $t$ colocado cerca de la rendija $S_2$ da lugar a un camino óptico adicional de $(\mu_2 -\mu_3)t$ . Por lo tanto, la red óptico diferencia de trayectoria será $$l_{S_2Q}-l_{S_1Q}=\mu_3\Delta x +(\mu_2-\mu_3)t=\mu_3d\frac{y}{2D}+(\mu_2-\mu_3)t $$ Por lo tanto, la diferencia de camino óptico total será $$\boxed{l_2-l_1=\mu_3d\frac{y}{2D}+(\mu_2-\mu_3)t + \frac{d^2}{D}}$$ El único error en tu solución es que olvidaste incluir el hecho de que la misma distancia recorrida por la luz en el lado izquierdo y derecho del plano de la rendija no contribuye a igual diferencia de fase, debido al diferente índice de refracción en el derecho. A partir de esto puedes localizar los máximos centrales igualando la diferencia de recorrido a cero. $$y_0=-\frac{2D}{\mu_3d}((\mu_2-\mu_3)t + \frac{d^2}{D})$$