Son Kazhdan-Lusztig $R$ -los polinomios de Poincare de las variedades afines correspondientes

Question

Sea $x$ y $y$ sean dos elementos de $S_n$ . Sea $U(x,y)$ sea la intersección $(BxB \cap B_{-} y B)/B$ dentro de la variedad de bandera. Aquí $B$ y $B_{-}$ son los grupos de matrices triangulares superior e inferior, respectivamente. Kazhdan y Lusztig definen el $R$ polinomio $R_{x,y}(q)$ . Como se explica en el teorema 1.3 de Deodhar Una de estas descripciones es la siguiente $$R_{x,y}(q) = \# U(x,y)(\mathbb{F}_q).$$

Ahora, $U(x,y)$ es una variedad afín, por lo que no consigo saber que la filtración ponderal coincide con la filtración cohomológica. Pero, mirando ejemplos, parece que el coeficiente de $(-1)^{\ell(x) - \ell(y) - i } q^i$ en $R_{x,y}(q)$ es el número de Betti $\dim H^i(U(x,y))$ . Por ejemplo, con $n=2$ , $x=(21)$ y $y$ siendo la identidad, entonces $U(x,y)$ es el toroide $\mathbb{A}^1 \setminus \{ 0 \}$ tiene $q-1$ puntos, y sus números de betti son $\dim H^0 = \dim H^1 = 1$ .

Probablemente sea algo muy estándar, pero no lo encontré en los primeros sitios en los que lo intenté y me pareció más rápido preguntar aquí que seguir buscando. Gracias.

Answer 1

Creo que esta es una de esas cosas que parecen plausibles en pequeños ejemplos pero que son falsas. Por ejemplo, esto implicaría que los coeficientes de los polinomios R se alternan en $q$ . Esto está implícito en otra conjetura llamada la conjetura Gabber-Joseph (a grandes rasgos: los coeficientes de R-poynomios dan dimensiones de grupos Ext entre módulos de Verma), que es falsa. Véase "A counterexample to the Gabber-Joseph conjecture" por Brian Boe.