Cómo hacer $\int_0^\infty \delta(x) dx = \frac12 $ riguroso utilizando funciones generalizadas?

Question

Existen muchas versiones de la teoría de las funciones generalizadas. La más famosa es la teoría de la distribución de Schwartz, en la que las funciones de prueba son suaves y con soporte compacto. En la teoría de Schwartz, la expresión $$\int_0^\infty \delta(x) dx = \langle\delta, \chi_{[0,\infty)}\rangle,$$ donde $\chi$ es la función indicadora, es indefinida ya que $\chi_{[0,\infty)}$ no es suave. Sin embargo, la prescripción de fijar $\int_0^\infty \delta(x) dx = \frac12 $ es muy útil en física, y quiero que esta expresión sea rigurosa.

Otra famosa teoría de la función generalizada es la teoría de la hiperfunción de Sato. Las hiperfunciones pueden considerarse diferencias de valores límite de dos funciones holomorfas en los semiplanos superior e inferior. Hasta donde yo sé, la integral $$\int_a^b f(x) dx$$ de una hiperfunción $f$ sólo se define si $f$ es analítica real en dos puntos extremos $a$ y $b$ . Sin embargo, la hiperfunción $\delta(x)$ no es analítica real en 0, y la integral $\int_0^\infty \delta(x) dx$ no está definido.

¿Hay alguna forma de dar un sentido riguroso a $\int_0^\infty \delta(x) dx$ ?

Answer 1

No hay problema para tomar $\phi(x) = e^{-1/(1-x^2)} 1_{|x| <1}$ , $C=\int_{-1}^1 \phi(x)dx,\phi_n(x)=\phi(x/n),\varphi_n(x)=\frac{n\phi(nx)}{C}$ y fijar $$( T,f) = \lim_{n\to \infty} \langle T,\phi_n \ (f\ast \varphi_n)\rangle$$ para cualquier distribución $f,T$ .

En $f\in C^\infty_c$ es el emparejamiento estándar.

De lo contrario, el límite divergirá a menudo, pero a veces convergerá.

La cuestión es que no existe una interpretación topológica agradable en cuanto al emparejamiento de distribuciones con $C^\infty_c$ funciones, y que el emparejamiento será diferente al sustituir $\phi$ por algún otro (no par) $C^\infty_c$ función.

Answer 2

En la teoría de la distribución $\delta $ es la medida de Dirac en cero, es decir

$$ \delta (A)=\int_{\mathbb{R}}\mathbf{1}_{A}(x)\delta (d x)=\begin{cases} 1,&0\in A\\ 0,&\text{ otherwise } \end{cases} $$

Y en general

$$ \int_{\mathbb{R}}f(x) \delta (d x)=f(0) $$

para cualquier función medible $f$ suave o no. Por abuso de notación normalmente $\delta $ se escribe como una "función" en el integrando en lugar de una medida, escribiendo $\delta (x)\,d x$ en lugar de $\delta (dx)$ .

Si quieres que $\int_{\mathbb{R}}\mathbf{1}_{[0,\infty )}(x)\delta (x)dx=\frac1{2}$ entonces puede establecer $\delta (x)\,d x:=\frac1{2}\delta (dx)$ .