Derivada matricial de la raíz cuadrada

Question

Sea A un $n\times n$ (de valor real), y establecer $S := \sqrt{A^t A}$ . ¿Cuál es la derivada matricial de $S$ por ejemplo $A$ ? Es decir, ¿qué es $\frac{\partial S}{\partial A}$ ?

(En caso de problemas de invertibilidad, podría suponer por el momento que $A^t A$ es definida positiva, aunque para las aplicaciones que tengo en mente podría tener sólo semidefinición positiva).

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Si conoce el operación vec para matrices, entonces se podría proceder de la siguiente manera. $$\eqalign{ &S\,S &= A^TA \cr &S\,dS\,(I)+(I)\,dS\,S &= A^T\,dA\,(I)+(I)\,dA^T\,A \cr &(I^T\otimes S+S^T\otimes I)\,{\rm vec}(dS) &= (I^T\otimes A^T)\,{\rm vec}(dA)+(A^T\otimes I)\,{\rm vec}(dA^T) \cr &\Big(I\otimes S+S\otimes I\Big)\,{\rm vec}(dS) &= \Big((I\otimes A^T)+(A^T\otimes I)K\Big)\,{\rm vec}(dA) \cr &\frac{\partial{\,\rm vec}(S)}{\partial{\,\rm vec}(A)} &= \Big(I\otimes S+S\otimes I\Big)^+ \Big((I\otimes A^T)+(A^T\otimes I)K\Big) \cr\cr }$$ donde $M^+$ denota el pseudoinverso de $M$ , $I$ es la matriz identidad, y $K$ es el matriz de conmutación asociado al producto de Kronecker. La solución también aprovecha el hecho de que $I$ y $S$ son simétricos.

Answer 2

Recuerde que puede realizar una descomposición polar en $A$ tal que:

$$A = QS$$

donde $Q$ es una matriz ortogonal y $S$ se define unívocamente precisamente como lo que describes arriba cuando existe. Por lo tanto, lo que realmente quieres calcular es:

$$\frac{\partial S}{\partial A} = \frac{\partial [Q^{-1}A]}{\partial A} = Q^{-1}\otimes\mathbf{I}$$

Obsérvese que el resultado es una transformación lineal de cuarto orden, ya que estamos describiendo la tasa de cambio de un objeto de segundo orden $S$ con respecto a otra transformación lineal de segundo orden $A$ .