¿Cómo encontrar el campo magnético correspondiente a un campo eléctrico?

Question

Si nos dan el campo eléctrico $\vec E$ ¿cómo puedo encontrar el campo magnético correspondiente? Creo que puedo utilizar Ecuaciones de Maxwell ? En concreto, $\nabla\times \vec E= -{\partial \vec B\over \partial t}$ ? ¿Pero está completamente determinado? Ya que sólo tenemos una derivada parcial?

Answer 1

No se puede, también es necesario conocer la corriente $\vec J$ .

Cualquier campo vectorial está especificado por su componente transversal y su componente paralela (es decir, su componente con rizo distinto de cero y su componente con gradiente distinto de cero). Por lo tanto, conociendo el rizo y el gradiente de un campo vectorial se puede calcular el propio campo. A partir de la II y IV ecuación de Maxwell tenemos $$ \vec\nabla\cdot\vec B = 0 \qquad \vec\nabla \times \vec B=\epsilon\mu\frac{\partial \vec E}{\partial t}+\mu \vec J $$

Debería $\vec J=0$ y la densidad de carga $\rho=0$ (por ejemplo, si se trata de ondas electromagnéticas), esta yelda $\vec E=\vec B\times \vec v$ . Véase wikipedia para más detalles.

Answer 2

El campo magnético no es completamente especificado. Se requiere una condición de contorno. Una simple descomposición, utilizando las funciones de Green y varios teoremas integrales, lo demuestra:

$$\begin{align*}B(r) &= \int_V \frac{r-r'}{4\pi|r-r'|^3} \times \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E(r')}{\partial t} \; dV' \\ &+ \oint_{\partial V} \frac{r-r'}{4\pi |r-r'|^3} B(r') \cdot dS' \\ &+ \oint_{\partial V} \frac{r-r'}{4\pi |r-r'|^3} \times [B(r') \times dS']\end{align*}$$

donde $r,r'$ son vectores. Las dos últimas integrales corresponden a un campo vectorial que obedece a $\nabla^2 = 0$ --es armónica, o mejor dicho, es una solución homogénea de esta ecuación diferencial, mientras que el primer término es la solución particular.

Si se puede elegir una superficie en la que el campo magnético sea cero (por ejemplo, en el infinito), entonces el campo queda completamente especificado por el primer término integral. Sin embargo, aunque esta condición de contorno está casi siempre implícita en la teoría EM, utilizarla aquí hace que la primera integral sea muy difícil de calcular, a menos que se utilice algún ingenio.

Si las densidades de carga y corriente son cero en todas partes, entonces es bien sabido que las soluciones resultantes son ondas EM, para las que los campos E y B son totalmente ortogonales, de igual magnitud (dentro de factores de constantes), y mutuamente ortogonales con la dirección de propagación. Creo que Ferdinando se refería a esto.