campo vectorial holomorfo en la variedad de Fano Kähler-Einstein

Question

Sea M una variedad compacta de Fano Kähler-Einstein, V un campo vectorial holomorfo (1,0). Las condiciones de Fano dicen que $V=\nabla^{1,0} f$ Por el teorema de Matsushima, la condición de Kähler-Einstein implica que $div V=\Delta f$ es una función propia del laplaciano complejo $\Delta$ . Mi pregunta es si sería posible tomar la fucnión potencial $f$ sea una función de valor real?

Answer 1

En realidad, se me acaba de ocurrir un argumento. Tome cualquier holomorfo $(1,0)$ campo vectorial, digamos $X$ entonces Fano implica $X=\nabla^{1,0}f$ con valor complejo $f$ . Y $\operatorname{div} X=\Delta f$ . Ahora dejemos que $f=u+iv$ entonces como $\operatorname{div} X$ es un $1$ -del Laplaciano complejo, por lo que son $\Delta u$ y $\Delta v$ entonces, por el teorema de Matsushima, se sabe que $\nabla^{1,0}(\Delta u)$ es también un campo vectorial holomorfo que tiene un potencial real $\delta u$ . Dado que el Laplaciano es un operador real en el caso de Kähler.