Estimación de la integral superexponencial

Question

Me preguntaba si alguien podría dar una estimación lo más precisa posible para la integral $$ \int_0^b e^{-a e^{-x^2}}\, dx, $$ donde $a$ es positivo. Que yo sepa, no está relacionado con ninguna función especial. Por supuesto, es menor que $b$ ya que el integrando es menor que $1$ pero me vendría bien un una estimación mucho más precisa. Muchas gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$f(x)=e^{-ae^{-x^2}}$$ es creciente en el intervalo $(0,b)$ . Por lo tanto, una estimación sería $$\int^{b}_{0}f(0)\,dx\leq\int^{b}_{0}f(x)\,dx\leq\int^{b}_{0}f(b)\,dx$$ o lo que es lo mismo $$f(0)\cdot b\leq\int^{b}_{0}f(x)\,dx\leq f(b)\cdot b$$ o $$e^{-a}b\leq\int^{b}_{0}f(x)\,dx\leq e^{-ae^{-b^2}}b$$