Método de la arandela - Radio interior y exterior dados por la misma función

Question

Consideremos la región delimitada por la curva y = 2x(1-x) y el eje x. Esta región se va a rotar alrededor del eje y. Utiliza el método de la arandela para escribir una expresión integral para el volumen.

Entiendo cómo aplicar el método de la arandela, pero en este caso me confunde el hecho de que tanto el radio interior como el exterior están definidos por la misma función (dos soluciones para cada valor de x).

Así que cuando tomo la diferencia del radio exterior al cuadrado y el radio interior al cuadrado, simplemente se anulan y dan 0.

¿Qué hago en este caso?

Gráfico: https://i.imgur.com/XgFnges.png

Answer 1

CONSEJO

Necesitamos la expresión para $x=g(y)$ es decir

$$y=2x(1-x)\iff 2x^2-2x+y=0 \iff x=\frac{2\pm \sqrt{4-8y}}{4}=\frac{1\pm \sqrt{1-2y}}{2}$$

con $y\in[0,\frac12]$ . y por lo tanto

$$V=\int_0^\frac12 2\pi y\sqrt{1-2y}\,dy$$