Es $\sqrt[0]{0}$ definido?

Question

Es $\sqrt[0]{0}$ definido?

¿Y el límite? $\lim_{x\to 0}{x^{\frac{1}{x}}}$

Es $\sqrt[0]{n}\,\,\,\,n\neq0$ ¿Alguna diferencia?

Answer 1

Tenemos $$\lim_{x\to0^+}x^{1/x}=0$$ desde $x^{1/x}$ no está definida para todos los valores negativos $x$ .

Esto se debe a que como $x\to0$ , $\frac1x\to\infty$ y multiplicando un número $<1$ por sí mismo $n$ veces (como $n\to\infty$ ) te lleva a cero.

Observe que estamos escribiendo $x\to0$ , no $x=0$ como $x^{1/x}=0^\infty$ es indeterminada.

Answer 2

La dosis límite no existe porque para valores negativos de $x$ , $x^{1/x}$ no está definido.

Answer 3

Sea $L = \lim_{x \to 0}\root{x}\of {x}$ . Entonces, tomando logaritmo en ambos lados,

$$\begin{aligned} \ln {L} = \lim_{x \to 0}\frac{\ln{x}}{x} \end{aligned}$$

Esta cantidad no está definida, es decir, es una indeterminada de la forma $\frac{\infty}{0}$ .

Answer 4

No. Es indefinido, y he aquí por qué.

Usted escribe $\sqrt[0]{n}$ pero lo escribiré como $\sqrt[0]{x}$ con respecto al límite (porque tiene una variable $x$ ).

En cuanto a la zeroth raíz, $$\begin{align}\text{Let }\;\;\,y&=\sqrt[0]{x}, \\ \text{then }\;y^0&=x.\end{align}$$

Puesto que cualquier cosa elevada a la potencia de $0$ es $1$ se deduce que $x=1$ . $$\therefore \sqrt[0]x\text{ is undefined}\Leftrightarrow x\neq 1.\tag{$ \ por lo tanto \sqrt[0]{0} $ is undefined.}$$ Pero $y$ también puede ser cualquier número, lo que significa que $\sqrt[0]{x}$ no tiene un valor definido, aunque $x\neq 1$ .

$$\therefore \sqrt[0]{x}\text{ is undefined } \forall x.$$

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En cuanto al límite, $$\Lambda=\lim_{x\to0}x^{\frac 1x}$$ esto es, por supuesto, igual a $0$ . $\overbrace{\text{Since $ 0^n=0 $ for all $ n\neq 0 $,}}^{\large Statement \ (1)}$ entonces como $x\to 0$ se deduce que $x^{\frac 1x}\to 0$ y por definición de límite, obtenemos que $\Lambda = 0$ .

Pero esto no significa que $1\div 0$ se define - es no la división por cero es indefinido independientemente del valor del numerador. Sólo tenemos que considerar el límite, $$\begin{align}\Lambda_0=\lim_{x\to0}\frac 1x&=\infty, \\ \because \lim_{x\to\infty}\frac 1x&=0.\end{align}$$ Por lo tanto, al evaluar el límite $\Lambda$ observamos que $1\div x\to \infty$ .

Y así, por Declaración $(1)$ está totalmente claro que $\Lambda = 0$ ; id est, $$\lim_{x\to 0}\frac 1x=0.$$

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Si usted es todavía inseguro y/o confuso, eche un vistazo a la mejor respuesta (en mi opinión) .