Unión de conjuntos conexos

Question

$\forall \beta \in I$ , $A_{\beta }$ está conectado, y $\left ( \bigcup_{\alpha < \beta }A_{\alpha } \right )\cap A_{\beta }\neq \varnothing$ . Es $\bigcup_{\alpha \in I}A_{\alpha } $ ¿conectados? Para el conjunto de índices $I$ cuando es contable, la respuesta es obvia. Quiero saber la conclusión general. Gracias

Answer 1

Sí. Esto supone -lo que no está explícito en el enunciado de su problema- que

• $I$ está bien ordenada por $<$ y que
• la condición de intersección no se postula para $\beta=\min I$ (como postularía $\emptyset\cap A_{\min I}\ne\emptyset$ de todos modos)

Sea $\bigcup_{\alpha\in I}A_\alpha$ estar cubierto por conjuntos abiertos disjuntos $U,V$ . Supongamos que $U\cap\bigcup_{\alpha\in I}A_\alpha\ne\emptyset$ y $V\cap\bigcup_{\alpha\in I}A_\alpha\ne\emptyset$ . Sea $\beta\in I$ sea mínimo con $A_\beta\cap U\ne\emptyset$ y $\gamma\in I$ mínimo con $A_\gamma\cap V\ne\emptyset$ . Wlog. $\beta\le\gamma$ . Desde $A_\gamma$ está conectado, no podemos tener $\beta=\gamma$ . Por lo tanto $\gamma>\min I$ . Desde $A_\gamma$ está conectado, $U\cap A_\gamma=\emptyset$ y por lo tanto $A\gamma\cap\bigcup_{\alpha<\gamma}A_\alpha\ne\emptyset$ implica $V\cap\bigcup_{\alpha<\gamma}A_\alpha\ne\emptyset$ contradiciendo la minimalidad de $\gamma$ .

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¿Y si $<$ no es más que una orden total sobre $I$ ?

Incluso para el caso contable $I=\mathbb Z$ con orden estándar obtenemos un contraejemplo como sigue: Para $n\in \mathbb Z$ deje $A_n=[n-1,n+1]\times\{(-1)^n\}\subset\mathbb R^2$ . Entonces la condición de intersección se cumple porque $A_n\cap A_{n-2}\ne\emptyset$ ; pero $\bigcup_{\alpha\in I}A_\alpha=\mathbb R\times\{-1,1\}$ no está conectado.