Demostración de la propiedad de escala del movimiento browniano mediante distribuciones de dimensión finita

Question

Sea $B_{t}$ sea el movimiento browniano estándar en el conjunto $W_{t}=\frac{1}{c}B_{c^2t}$ . Las distribuciones dimensonales finitas de $W_{t}$ son,

$P(W_{t_{1}}\in (-\infty,x_{1}], \ldots W_{t_{n}}\in (-\infty,x_{n}])=P(\frac{1}{c}B_{c^2t_{1}}\in (-\infty,x_{1}], \ldots \frac{1}{c}B_{c^2t_{n}}\in (-\infty,x_{n}])=P(B_{c^2t_{1}}\in (-\infty,cx_{1}], \ldots ,B_{c^2t_{n}}\in (-\infty,cx_{n}])=$

$\int_{(-\infty,cx_{1}]\times (-\infty,cx_{n}]}\prod\frac{1}{\sqrt{2\pi c^2 (t_{i+1}-t_{i})}}e^{-\frac{x^2}{2c^2t^2}}\cdots e^{-\frac{x^2}{2c^2(t_{n}-t_{n-1})^2}}dx_{1} \ldots dx_{n}=$

$\int_{(-\infty,x_{1}]\times (-\infty,x_{n}]}\prod\frac{1}{\sqrt{2\pi c^2 (t_{i+1}-t_{i})}}e^{-\frac{c^2x^2}{2c^2t^2}}\cdots e^{-\frac{c^2x^2}{2c^2(t_{n}-t_{n-1})^2}}dx_{1} \ldots dx_{n}=$

$\int_{(-\infty,x_{1}]\times (-\infty,x_{n}]}\prod\frac{1}{\sqrt{2\pi c^2 (t_{i+1}-t_{i})}}e^{-\frac{x^2}{2t^2}}\cdots e^{-\frac{x^2}{2(t_{n}-t_{n-1})^2}}dx_{1} \ldots dx_{n}=\frac{1}{C}P(B_{t_{1}}\in (-\infty,x_{1}], \ldots B_{t_{n}}\in (-\infty,x_{n}])$ .

Así pues, parece que difiero en una constante $\frac{1}{C}$ ¿Alguien sabe dónde me equivoco?

Answer 1

Creo que en su lugar difieren por un factor de $\frac{1}{c^n}$ ya que debería obtener un $\frac{1}{c}$ para cada término del producto que va entre las dos últimas líneas. Esto se debe a que te falta un factor constante $c$ cada vez que realice el cambio de variables $x_i \mapsto c x_i$ entre las dos primeras líneas.