Teorema fundamental del cálculo: ¿definición de intervalo diferenciable?

Question

Tengo una pregunta sobre el Wiki definición:

$$ F(x) = \int_a^x f(t) dt $$

donde $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ , $F : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ y $F$ es diferenciable en $(a,b)$ entonces:

$$ (F'(x) = f(x)) \land (x \in (a,b)) $$

Preguntas $F'(x) = f(x)$ se define en $(a, b)$ y antes $f(x)$ se define en $[a,b]$ . ¿Esto hace que la antiderivada sea una función parcial? ¿Cómo puede $F'(x) = f(x)$ si el dominio es diferente de la definición anterior?

Answer 1

$F(x)$ no es una función parcial, ya que está definida en todas partes en $[a,b]: F(a) = \int_a^a f(t)dt = 0,$ y $F(b) = \int_a^b f(t)dt$ .

Generalmente, cuando estamos ante una función de valor real $G$ que sólo está definido en un intervalo $[a,b]$ pensamos en las derivadas en $a$ y $b$ como simplemente ser el derivadas derecha e izquierda en esos puntos (respectivamente). Es decir, cuando miramos la derivada $G'(a) = \lim_{x \rightarrow a} \frac{G(x)-G(a)}{x-a}$ el límite debe tomarse utilizando sólo valores de $x$ que yacen en el interior $[a,b]$ ya que ese es el ámbito en el que trabajamos. Esto equivale a tomar el límite sólo por la derecha de $a$ .

En el caso de la FTC, estos límites unilaterales $F'(b) = \lim_{x \rightarrow b^-} \frac{F(x)-F(b)}{x-b}$ y $F'(a) = \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{F(x)-F(a)}{x-a}$ existen y son iguales a $f(b)$ y $f(a)$ respectivamente, como explico en mi respuesta a este pregunta vinculada .

Answer 2

$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)dt\approx \frac{f(x)\times(x+h-x)}{h}\to f(x)$ como $h\to 0$ Aproximación a partir de la definición de la integral de Riemann.

Puntos finales excluidos ya que para $x=a$ y $h\lt 0$ o $x=b$ y $h\gt 0$ no se puede definir la integral.

$f(x)$ debe ser continua en $x$ para $F(x)$ sea diferenciable en $x$ .