Añadido. En el siguiente enlace hay una prueba de la observación realizada en esta pregunta: http://dl.dropbox.com/u/5546138/DelpezzoCoxeter.pdf
Me gustaría encontrar una referencia para una bonita construcción que asocia a las superficies Del-Pezzo los politopos Coxeter hiperbólicos de volumen finito y hacer algunas preguntas relacionadas .
Recordemos que a politopo hiperbólico de Coxeter es un dominio en $\mathbb H^n$ delimitada por una colección de hiperplanos geodésicos, tales que cada par de hiperplanos intersecantes se intersecan bajo ángulo $\frac{\pi}{n}$ ( $n=2,3,...,+\infty$ ). Del Pezzo es una superficie proyectiva obtenida a partir de $\mathbb CP^2$ explotando (genéricamente) como máximo $8$ puntos.
Ahora, la construcción Del Pezzo $\to$ Politopo de Coxeter es la siguiente.
Considere $H_2(X,\mathbb R)$ se trata de un espacio dotado de forma cuadrática de índice $(1,n)$ (la forma de intersección), y existe una colección finita de vectores $v_i$ líneas complejas correspondientes en $X$ con auto-intersección $-1$ . Es bien sabido, por ejemplo, que en una superficie cúbica en $\mathbb CP^3$ hay $27$ líneas y esta colección de líneas tiene $E_6$ simetría (si se considera como un subconjunto en $H_2(X,\mathbb Z)$ ). Ahora tomamos el cono nef de $X$ o, en términos sencillos, el cono en $H_2(X,\mathbb R)$ de vectores que se emparejan no negativamente con todos los vectores $v_i$ . Este cono corta un politopo del espacio hiperbólico correspondiente a $H_2(X,\mathbb R)$ y es fácil comprobar que este politopo es Coxeter, con ángulos $\frac{\pi}{2}$ y $0$ (algunos puntos de este politopo están en el infinito, pero su volumen es finito). En efecto, los ángulos son $\frac{\pi}{2}$ y $0$ desde $v_i^2=-1$ , $v_i\cdot v_j=0 \;\mathrm{or}\; 1$ .
Ejemplo . Si explotamos $\mathbb CP^2$ en dos puntos esta construcción produce un triángulo hiperbólico con un ángulo $\frac{\pi}{2}$ y dos ángulos $0$ .
La conexión entre las superficies algebraicas y la geometría hiperbólica es muy conocida, y explotada todo el tiempo, pero por alguna razón no he sido capaz de encontrar la referencia a este hecho sin duda clásico (después de buscar en Google). Así que..,
Pregunta 1. ¿Existe alguna referencia (agradable) de este hecho clásico?
Esta pregunta está motivada en particular por el siguiente artículo http://maths.york.ac.uk/www/sites/default/files/Preprint_No2_10_0.pdf donde se utiliza el politopo correspondiente a la superficie cúbica. Los autores mencionan la relación del politopo con 27 líneas sobre la cúbica, pero no dicen que la relación sea de hecho casi canónica.
Pregunta 2. El grupo de simplectomorfismos (diffeos) de cada superficie Del-Pezzo $X$ actúa sobre $H_2(X,\mathbb R)$ denotamos por $\Gamma$ su imagen en las isometrías del espacio hiperbólico correspondiente. ¿Cuál es la relación entre $\Gamma$ y el grupo generado por las reflexiones en las caras del correspondiente politopo de Coxeter?
PS Se consideran superficies racionales con haces semi-amplios anti-canónicos, es decir, superficies que sólo pueden tener curvas racionales con auto-intersección $-1$ y $-2$ se obtienen más ejemplos de politopos de Coxeter; las caras de tales politopos se intersecan bajo ángulos $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}, 0)$ .
Aquí tiene una referencia sobre " Superficies algebraicas y geometría hiperbólica " de Burt Totaro (pero no creo que la respuesta a la primera pregunta esté contenida ahí).
