Integración sencilla: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} dx$

Question

Considere la integral de la $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} dx$ entonces como una integral de Riemann se aleja, también como una integral de Lebesgue es $\infty$. Sin embargo,

por un momento olvide $0 \in [-1,1]$ e "integrar": $$\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_{-1}^1 = -2$$

Hay una manera de que uno puede hacer sentido de esta correspondencia? O es totalmente absurdo...

Answer 1

Tiene sentido como parte integrante de -1 a 1 que no pasa por el origen en el plano complejo, por ejemplo, por el movimiento por encima de ella.

Answer 2

La anti-derivada de $\frac{1}{x^2}$ $-\frac{1}{x}$ al $x\ne 0$. En cuanto a la integración de los límites de incluir la singularidad del punto de $x=0$, la anti-derivada es no $-\frac{1}{x}$.

Y intentar dividir la integral en dos impropia de Riemann integrales lleva al resultado

$$\begin{align} \int_{-1}^1\frac{1}{x^2}\,dx&=\lim_{\epsilon_1\to 0^{+}}\int_{-1}^{-\epsilon_1}\frac{1}{x^2}\,dx+\lim_{\epsilon_2\to 0^{+}}\int_{\epsilon_2}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx\\\\ &=\lim_{\epsilon_1\to 0^{+}}\left(\frac{1}{\epsilon_1}-1\right)+\lim_{\epsilon_2\to 0^{+}}\left(\frac{1}{\epsilon_2}-1\right)\\\\ &=\infty \end{align}$$

incluso si la interpretación de la integral como un valor Principal de Cauchy con $\epsilon_1=\epsilon_2$.

Answer 3

La instrucción es: si $f \colon \left[a,b\right] \to \Bbb R$ es una función continua y $F$ es una primitiva de $f$$\left[a,b\right]$,$\int_a^b f(x)\,{\rm d}x = F(b)-F(a)$.

Su cálculo no es válido debido a que $1/x^2$ no es continua en a $\left[-1,1\right]$, de hecho, no está definida para $x=0$. Y no importa qué (real) de un valor de selección para $f(0)$, $f$ no ser continua y no se puede aplicar la FTC. Si usted está integrando en $[-1,1]$, entonces usted no está realmente ignorando $0$.

Answer 4

La parte difícil es justificar por qué no $-1/x$ es la antiderivada que usted elija.

El problema es que la "constante de integración" sólo necesita ser localmente constante: el dominio de sus funciones incluyen aquí los dos intervalos disjuntos, y cada uno tiene su propia constante de integración. El conjunto completo de antiderivatives a $1/x^2$ es todos los tramos definidos funciones de la forma

$$ \begin{cases} -\frac{1}{x} + C & x < 0 \\ -\frac{1}{x} + D & x > 0 \end{cases} $$

donde $C$ $D$ son cualquier constantes, y su "olvido" método resultados en $-2 + D - C$.

Con el fin de "dar sentido", usted necesita encontrar algunos sistemática de la razón para establecer $C=D$ aquí. Seguramente hay clases de ejemplos donde se puede encontrar una razón, pero no en plena generalidad.

Answer 5

Ya tienes las explicaciones que se ocupan del cuidado de la singularidad en cero. He aquí otro argumento:

Es una completa tontería por la sencilla razón de que usted tiene un resultado positivo integrando y un resultado final negativo. Esto va en contra de (uno de) los (principales) motivación(s) de la integración, es decir, para representar a la zona.