Universal Acorde Teorema De

Question

Deje que $f \in C[0,1]$ y $f(0)=f(1)$.

¿Cómo podemos demostrar que $\exists una \in [0,1/2]$ tal que $f(a)=f(a+1/2)$?

De hecho, para cada entero positivo de $n$, hay algo de $$, tal que $f(a) = f(a+\frac{1}{n})$.

Para cualquier otro distinto de cero real $r$ i.e no de la forma $\frac{1}{n}$), es continua la función $f \in C[0,1]$ tal que $f(0) = f(1)$ y $f(a) \neq f(a+r)$ de $un$.

Este es el llamado Universal de Acordes y Teorema se debe a Pablo Levy.

Nota: el aceptado la respuesta sólo responde a la primera pregunta, por favor leer las otras respuestas, y también esta respuesta por Arturo a una pregunta diferente: http://math.stackexchange.com/a/113471/1102

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Esto es ser reutilizados en un esfuerzo para reducir los duplicados, consulte aquí: Afrontamiento con resumen duplicar preguntas.

y aquí: Lista de resumen de los duplicados.

Answer 1

Curiosamente,

Los números de la forma $r = \displaystyle \frac{1}{n} \ \ n \ge 1$ son los únicos números tales que para cualquier función continua $\displaystyle f:[0,1] \to \mathbb{R}$ tal que $\displaystyle f(0) = f(1)$, hay algún punto $\displaystyle c \in [0,1]$ tal que $\displaystyle f(c) = f(c+r)$.

Para cualquier otra $r$, podemos encontrar una función continua para la cual no hay $\displaystyle c$ tal que $\displaystyle f(c) = f(c+r)$.

Para una prueba de que $\displaystyle r = \frac{1}{n}$ satisifies esta propiedad, deje que $\displaystyle g(x) = f(x) - f(x+ \frac{1}{n})$

Entonces tenemos que $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \ g\left(\frac{k}{n}\right) = 0$.

Por lo tanto, si ninguno de $\displaystyle g\left(\frac{k}{n}\right)$ $\displaystyle 0$, entonces hay algunas $\displaystyle i,j$ tal que $\displaystyle g\left(\frac{i}{n}\right) \gt 0$ y $\displaystyle g\left(\frac{j}{n}\right) \lt 0$.

Para cualquier otra $\displaystyle r \en (0,1)$

Considere el siguiente ejemplo, debido a Paul Levy.

$\displaystyle f(x) = \sin^2\left(\frac{\pi x}{r}\right) - x \ \sin^2\left(\frac{\pi}{r}\right)$

Si tenemos $\displaystyle f(x) = f(x+r)$, entonces tenemos que $\displaystyle r\ \sin^2\left(\frac{\pi}{r}\right) = 0$ y por tanto $\displaystyle r = \frac{1}{m}$ para algún entero $\displaystyle m$.

Al parecer este es el llamado Universal de Acordes Teorema (debido a Paul Levy!).

Answer 2

Desea utilizar el teorema del valor intermedio, pero no se aplica a $f$ directamente. Más bien, deje de $g(x)=f(x)-f(x+1/2)$ para $x\in[0,1/2]$. Usted quiere demostrar que $g(a)=0$$$. Pero $g(0)=f(0)-f(1/2)=f(1)-f(1/2)=-(f(1/2)-f(1))=-g(1/2)$. Esto nos da el resultado: $g$ es continua y cambia de signo, por lo que debe tener un cero.

Answer 3

Sugerencia: considerar $g(x)$, definido en $[0,1/2]$ $g(x)=f(x+1/2)-f(x)$