$A$ espacio de cobertura de $B$ de grado $n$ si $\chi(A) = n\chi(B)$ .

Question

Si $A$ , $B$ son dos superficies orientables, tenemos que $A$ es un espacio de cobertura de $B$ de grado $n$ sólo si $$\chi(A) = n\chi(B)?$$ Si este es el caso, ¿entonces se deduce que existen grados $n$ cubre por el toroide de sí mismo de grado arbitrario?

Answer 1

Voy a resolver esto para el caso de superficies compactas, ya que nada en el problema sugiere que OP está pidiendo otra cosa. Sea $T_g$ denotan el $g$ -toroide agujereado. Su característica de Euler es $2-2g$ . Para cualquier $g$ es un múltiplo entero de $2$ que es la característica de Euler de la esfera; pero eso no hace que el $g$ -toroidal a $1-g$ -de la esfera. En efecto, puesto que $1-g$ es no positivo, tal cobertura ni siquiera tiene sentido.

Así que voy a suponer que el OP quería decir "superficies compactas" y $n > 0$ .

Esto se divide en dos casos:

1. $T_1$ con $\chi = 0$ . En este caso, para cualquier $n>0$ tenemos $n \chi = 0$ así que nos preguntamos si $T_1$ es un $n$ -cubierta desplegable de $T_1$ . Utilizando la representación habitual de $T_1$ como $S^1 \times S^1$ tenemos el mapa $(u, v) \mapsto ((n\cdot u) \bmod 2\pi, v)$ que es, de hecho, un $n$ -del toro por sí mismo. Así que en este caso la respuesta es "sí".

2. $T_g$ donde $g > 1$ .

   En este caso, si hubiera un recubrimiento de la base $T_g$ con $\chi_g = 2-2g$ la cubierta tendría que ser $T_k$ con $\chi_k = (2-2g)n = 2 - 2k$ . Resolviendo, encontramos $2n - 2gn = 2 - 2k$ Así que $k = (gn+1-n)$ . ¿Existe siempre tal cobertura? ¿Tiene $T_k$ con $k = gn+1-n$ siempre forman un $n$ -cubierta desplegable de $T_k$ ? (Al menos para $n > 0$ .)

Sí. Para $n = 1$ Esto es obvio: se cubre a sí misma. Para $n > 1$ aquí hay una construcción:

Empieza con un toroide estándar de 3 agujeros, colocado en el plano como tres panecillos que se han pegado al hornearse, con los agujeros así desde arriba:

 OOO

Córtalo por la mitad, de modo que obtengas un "toroide con cuernos" con este aspecto:

 OC

(Espero que esta especie de cuadro esquemático tenga sentido para ti).

Llamemos a esa cosa $H$ (por "cuernos"). Si toma dos copias de $H$ se puede girar una 180 grados y pegarlas para reconstruirlas. $T_3$ . Si toma 3 copias de $H$ Si se acortan ligeramente los cuernos de cada uno y se colocan a 120 grados entre sí, se obtiene un toroide de 4 agujeros. Si se toman 4 copias de $H$ con cuernos aún más cortos, y los colocamos a 90 grados unos de otros, se obtiene un toroide de 5 agujeros que esquemáticamente tiene este aspecto:

   O
  OOO
   O

con la "O" central formada por los cuatro conjuntos de cuernos.

Bien, volviendo a la cuestión que nos ocupa: tomemos un toroide con agujeros en g, y dispongámoslo como nuestro toroide de 3 agujeros, y cortemos la mitad del agujero más a la derecha, de forma que obtengamos

 OOO ... OC

Organice $n$ copias de esto en un patrón de "estrella", con ángulo $\frac{2\pi}{n}$ entre cada punta de la estrella, y con los "cuernos" en el centro formando un círculo. El resultado es una superficie que forma $n$ -de la superficie original, siendo el mapa de cobertura esencialmente $z \mapsto z^n$ donde $z$ es una coordenada compleja en el plano del dibujo.

Esa superficie tiene $n$ copias del $g-1$ agujeros de nuestros $g$ -es decir, tiene $n(g-1)$ agujeros en sus "brazos", y un agujero más en el centro, para un total de $ng - n + 1$ agujeros. Así que vemos que hemos producido un $n$ -doble cobertura de la $g$ -toroidal.

Si todo esto es demasiado horriblemente corta-pega y geométrico para ti, aquí tienes una alternativa: representar $T_g$ como una suma de n conexiones $T_g = T_1 \# T_1 \# \ldots \# T_1$ . $\pi_1$ de la primera $T_1$ es generado por un meridiano $a$ y una longitud $b$ y bajo inclusión, cada uno de ellos representa un elemento de $\pi_1 T_g$ . Consideremos el subgrupo $K$ de $\pi_1 T_g$ consistente en palabras en las que $a$ sólo aparece con potencias que son múltiplos de $n$ y construir la cubierta regular correspondiente a $K$ . Esto tendrá grado $n$ . El espacio de cobertura será una superficie orientable compacta, y tendrá la característica de Euler correcta, y por tanto tienen ser $T_k$ para $k = gn + 1 - n$ .