Encontrar el número de elementos $z$ , $1<|z|<2$ satisfaciendo $f(z)=0$ donde $f(z)=z^5+z^3+5z^2+2$ .

Question

Sea $g(z)=z^5$ entonces

$\forall z$ s.t $|z|=2$

$|g(z)-f(z)|\leq |2|^3+5|2|^2+2< |2|^5=|g(z)|$

Por lo tanto, por Rouché $f(z) $ tiene 5 ceros en $D(0,2)$ . No se como seguir. ¿Alguna solución?

Answer 1

Ahora, aplique el teorema de Rouché sobre $D(0,1)$ con $g(z)=5z^2$ . Entonces $$\lvert z\rvert=1\implies\bigl\lvert g(z)-f(z)\bigr\rvert\leqslant4<5=\bigl\lvert g(z)\bigr\rvert.$$ Por lo tanto, hay $2$ ceros en $D(0,1)$ . Por lo tanto, hay $3$ ceros en la región que le concierne.