Algunas preguntas sobre las pruebas del límite épsilon-delta

Question

Buenas tardes. Tengo algunas preguntas sobre los detalles de las pruebas épsilon-delta. Abajo hay un ejemplo simple de prueba de límite no lineal que servirá como ejemplo de las preguntas que tengo. Las preguntas están debajo del ejemplo e implican aclaraciones y explicaciones de pasos y detalles en el trabajo de la prueba.

Prueba

$\lim_{x \to 2} x^2 =4$

Quiero mostrar:

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tal que, $\forall x \in \mathbb{R}, 0 < |x-2| < \delta \implies |x^2-4| < \epsilon$ .

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Trabajo de rascado (para encontrar $\delta$ )

• Manipular la implicación $0 < |x-2| < \delta$ $\implies$ $|x^2-4| < \epsilon$ encontrar $\delta$ .
• Entonces $|x^2-4| = |(x+2)(x-2)| = |x+2||x-2| < |x+2|\cdot\delta$ .
• Qué hacer con $|x+2|$ ¿término? $\delta$ no puede depender de $x$ sólo $\epsilon$ .
• Establecer un límite superior para $|x+2|$ plazo haciendo $|x+2| < C$ para algún número $C$ entonces cualquier $\delta \leq \frac{\epsilon}{C}$ funcionará.
• Elija $\delta \leq 1$ . Entonces $|x-2|<1 \implies -1<x-2<1 \implies 1<x<3 \implies 3<x+2<5 \implies -5<3<x+2<5 \implies |x+2|<5.$
• Alternativamente (utilizando el teorema de la desigualdad triangular), elija $\delta \leq 1$ . Entonces $|x-2| < 1.$ Ahora $|x+2| = |x-2+4| \leq |x-2| + |4| = |x-2| + 4 < 1+4 = 5.$
• Entonces $|x+2|\cdot\delta = 5\cdot\delta.$
• Así que $\delta \leq 1$ y $\delta \leq \frac{\epsilon}{5}$ al mismo tiempo. Tome $\delta = \min[1,\frac{\epsilon}{5}]$ .

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Prueba real

Reclamación:

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tal que, $\forall x \in \mathbb{R}, 0 < |x-2| < \delta \implies |x^2-4| < \epsilon$ .

Prueba:

• Sea $\epsilon > 0$ .
• Toma $\delta = \min[1,\frac{\epsilon}{5}]$ .
• Sea $x \in \mathbb{R}$ . Supongamos que $0<|x-2|<\delta$ . Esto implica $|x-2|<\frac{\epsilon}{5}$ y $|x-2|<1$ .
• Por lo tanto $|x-2|<1 \implies -1<x-2<1 \implies 1<x<3 \implies 3<x+2<5 \implies -5<3<x+2<5 \implies |x+2|<5.$
• Entonces $|x^2-4| = |(x+2)(x-2)| = |x+2||x-2| < (\frac{\epsilon}{5})\cdot5 = \epsilon$ .
• Así $|x^2-4| < \epsilon. \blacksquare$

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Preguntas

1. ¿Es correcto mi trabajo de raspado y mis pruebas?

2. Última línea de trabajo de raspado. Cuando $\delta$ se encuentra debe ser igual a o inferior o igual a ¿algunos valores? Ej. $\delta = \min[1,\frac{\epsilon}{5}]$ o $\delta \leq \min[1,\frac{\epsilon}{5}]$ ?

3. Trabajo de raspado. ¿Es la frase "obtener el control" de $|x+2|$ ¿es lo mismo que establecer un límite superior? Oigo con frecuencia la expresión "obtener el control" y quiero confirmarlo.

4. ¿Existe alguna interpretación geométrica que acompañe a las manipulaciones algebraicas para el proceso de establecer un límite superior de $|x+2|$ ¿término?

5. De forma similar a Q4. En el gráfico de $y=x^2$ para algunos $\delta$ en torno a $x=2$ la distancia entre $2$ y $2-\delta$ no es la misma que la distancia entre $2$ y $2+\delta$ . Así, a partir del trabajo de raspado, cuando $\delta = \min[1,\frac{\epsilon}{5}]$ y se elige el menor de los dos valores, ¿puede interpretarse esto geométricamente como que se elige el menor de los dos valores? $\delta$ ¿distancia de banda anteriormente mencionada? ¿O ambos conceptos no están relacionados?

6. ¿Puedo obtener alguna aclaración sobre el establecimiento de límites máximos en el trabajo de raspado? ¿Se establece un límite superior para toda la función? $y=x^2$ o el límite superior se encuentra sólo en el $|x+2|$ (ya que $|x-2|$ está limitada por $\delta$ )? Estoy bastante seguro de que es esto último, pero quiero confirmarlo. Además, entiendo el álgebra de girar $|x-2|<1$ en $|x+2|<5$ . Pero ¿cómo se justifica el uso de la $|x-2|$ para obtener un límite superior para $|x+2|$ ¿término?

7. Consulte la página web milefoot.com que demuestra las pruebas épsilon-delta para funciones no lineales. El autor o autores utilizan una forma aparentemente diferente de hallar delta. ¿En qué se diferencia el método para hallar delta en el trabajo rayado de arriba del de la página web? ¿O por qué el autor de la página web calcula delta de esa manera? Es sólo una corazonada, pero en la P5, ¿se aplicaría una interpretación geométrica de las bandas delta desiguales en una función no lineal a la forma en que se calcula y elige delta en la página web?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

1

La única queja que podría hacer sobre el trabajo de rascado es que debería decir $|x+2|\cdot\delta < 5\delta$ -- una desigualdad, no una ecuación. Pero usted entiende claramente lo que es el trabajo de scratch frente a la prueba real, y lo que tienes funciona bien en la prueba, que en última instancia es todo lo que necesita.

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Su trabajo de scratch demuestra que puede establecer $\delta = \min\{1,\frac\epsilon5\}$ en su prueba, pero en general nunca te equivocarás haciendo $\delta$ más pequeño . Ahora que ya sabes $\delta = \min\{1,\frac\epsilon5\}$ funcionará, también sabe que cualquier $\delta$ funcionará siempre que $0 < \delta \leq \min\{1,\frac\epsilon5\}.$ (Sigue siendo necesario $\delta$ para ser positivos, ¡por supuesto!)

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Nunca he oído la expresión "obtener el control" de una expresión algebraica en este contexto, pero parece acertado pensar que se refiere a obtener un límite superior de la expresión.

4

Por supuesto que hay interpretaciones geométricas del álgebra que implican la recta numérica; la "desigualdad del triángulo" que citas se refiere en este caso a un triángulo degenerado con los tres vértices en la recta numérica.

5

Incluso para una función no lineal, no es correcto decir que la distancia entre $2$ y $2-\delta$ es diferente de la distancia entre $2$ y $2+\delta$ . Por definición, ambas distancias son iguales a $\lvert\delta\rvert.$

Si tiene dos símbolos $\delta_1$ y $\delta_2$ cada uno de los cuales representa un número, es posible que la distancia entre $2$ y $2-\delta_1$ es diferente de la distancia entre $2$ y $2+\delta_2$ pero ¿qué son $\delta_1$ y $\delta_2$ ? Su secuencia de preguntas sugiere que desea $\delta_1$ sea un número tal que $(2-\delta_1)^2 = 4 - \epsilon$ y $(2+\delta_1)^2 = 4 + \epsilon,$ pero mi consejo es que no pierdas el tiempo pensando en esto, porque no es así como funciona una prueba típica de este tipo.

En particular, elegir $\delta = \min\{1,\frac\epsilon5\}$ casi siempre te va a dar un $\delta$ tal que $(2-\delta_1) > 4 - \epsilon$ y $(2+\delta_1)^2 < 4 + \epsilon.$ Y eso está absolutamente bien y es normal.

La geometría que me parece útil para pensar en el ejemplo de su prueba es que un arbitrario $\epsilon$ define una banda horizontal entre las líneas $y=4-\epsilon$ y $y=4+\epsilon.$ Algún trozo de la gráfica de tu función se encuentra entre esas líneas. Si sigues la función hacia la izquierda, al final puede salirse de la banda horizontal. Supongamos que lo hace; dejemos que $x_1$ sea el $x$ coordina dónde ocurre. Del mismo modo, yendo hacia la derecha la función podría dejar la banda horizontal en alguna coordenada $x_2.$ Por lo tanto, la función está dentro de la banda horizontal en cada $x$ coordenada en el intervalo abierto $(x_1,x_2)$ . Pero su trabajo en la búsqueda de $\delta$ no es encontrar ese intervalo $(x_1,x_2)$ ; su trabajo es simplemente no ir fuera de el intervalo $(x_1,x_2)$ . Mientras $x_1 \leq 2 - \delta$ y $2 + \delta < x_2$ , la banda vertical entre las líneas $x = 2 - \delta$ y $x = 2 + \delta$ va a intersecar la gráfica de la función en alguna parte de esa gráfica que esté dentro de la banda horizontal, y eso es todo lo que pide la definición de límite.

6

Por lo general, en este tipo de trabajo, sólo intentamos asegurarnos de que el álgebra que necesitaremos en la demostración funcione. No estamos preocupados por el ajuste exacto de la función original. Así que cuando estamos tratando de obtener un límite en el $\lvert x+2\rvert$ en realidad sólo necesitamos un límite en ese término, y no vale la pena seguir buscando en la función $y = x^2$ ya que eso no va a aparecer de esa forma en la parte correspondiente del trabajo más adelante.

Para la cuestión de cómo podemos utilizar $\lvert x-2\rvert < 1$ para justificar un límite en $\lvert x+2\rvert$ también, todo se debe al paso en el que decidimos por primera vez que, hiciéramos lo que hiciéramos, nunca dejaríamos que $\delta$ ser mayor que $1.$ Es un movimiento matemático inteligente, porque al tomar primero esta decisión limitamos los posibles valores de $x$ y, por tanto, los posibles valores de otras expresiones como $\lvert x+2\rvert$ .

Sin embargo, como precaución, limitarse a decir que $\delta \leq 1$ no funcionará en todos los casos; en este caso funciona porque los valores de $x^2$ para $1 < x < 3$ sólo cubren un rango finito. Si quisieras encontrar el límite de $1/x$ como $x\to\frac12$ por ejemplo, le convendría empezar con un $\delta,$ porque los valores de $1/x$ para $\frac12-1 < x < \frac12 + 1$ cubren todos los números reales excepto el intervalo $[-2,\frac23].$

7

La página web a la que te refieres trabaja un ejemplo diferente, $\lim_{x\to 5} (3x^2-1)=74$ pero está haciendo algo similar a la derivación de los números $x_1$ y $x_2$ en la parte 5 de esta respuesta; a saber, para $\epsilon \leq 72$ establece $x_1$ para que $3x_1^2-1 = 74 - \epsilon$ y establece $x_2$ para que $3x_2^2-1 = 74 - \epsilon$ . Y luego se pone $\delta$ a la menor de las dos distancias $\lvert 5 - x_1\rvert$ y $\lvert x_2 - 5\rvert$ . Eso significa que no se trata sólo de encontrar un $\delta$ que sea lo suficientemente buena como para utilizarla en la prueba real; también se encuentra la mayor $\delta$ que se pueden utilizar. Técnicamente no hay nada malo en ello si puedes conseguirlo, pero en mi opinión parece una pérdida de esfuerzo, y en un problema un poco más complicado -- digamos, un límite de la función $y = x^5 - x,$ puede que ni siquiera sepas escribir $x_1$ y $x_2$ de una forma con la que puedas trabajar.

Precisamente porque este enfoque tiende a producir expresiones complicadas para $\delta$ -- o fracasar completamente en los casos en los que no podamos averiguar cómo resolver las ecuaciones de $x_1$ y $x_2$ -- que recomiendo en contra de un enfoque que trata de encontrar un $\delta$ que nos lleva justo a uno de los puntos en los que la gráfica de la función sale de la banda horizontal, y en su lugar recomiendan que nos limitemos a permanecer dentro de la banda, a ser posible muy dentro de ella.

Answer 2

Tu trabajo de rayado y tus pruebas son correctas para resolver un problema de pruebas épsilon-delta de este tipo. La elección de $\delta$ está bien cuando se trata de igual o menor que o igual, porque se encuentra que satisface la última desigualdad de $\epsilon$ completa la prueba. Al elegir $\delta$ objetivamente, como dejar $\delta < 1$ o $2$ o valores diferentes, el límite superior de la expresión $\mid x + 2 \mid$ siempre se puede encontrar. Ese es el significado de "hacerse con el control".