¿Cuántos $4$ -¿Son posibles las combinaciones de cerraduras de varios dígitos si cada dígito del código puede aparecer como máximo dos veces?

Question

Pregunta Un código de combinación de cerradura se compone de $4$ números ( $0-9$ ). Cada número puede aparecer como máximo dos veces, por ejemplo $4764$ se permitiría pero no $4464$ como el número $4$ ha ocurrido más de $2$ Por lo tanto, ¿cuántos códigos de combinación posibles hay?

Sé que hay $10,000$ combinaciones posibles si se permiten repeticiones. Sin embargo, no sé cómo responder a la pregunta. Agradeceré cualquier ayuda, ¡gracias!

Answer 1

He aquí una posible solución utilizando el Principio de Inclusión/Exclusión:

$\textbf{Case 1}$ (el dígito se repite $3$ veces):

Elija el dígito repetido en $10 \choose 1$ maneras.

Elija el dígito restante en $9 \choose 1$ maneras.

Ordenar los dígitos en $\frac{4!}{3!} = 4$ maneras.

$\textbf{Case 2}$ (el dígito se repite $4$ veces):

Elija el dígito repetido en $10 \choose 1$ maneras.

Ordenar los dígitos en $\frac{4!}{4!} = 1$ manera.

Así que el número de combinaciones que no satisfacen su restricción es $(10 * 9 * 4) + (10 * 1) = 370$ . Restando estos de los $10,000$ combinaciones totales rendimientos $\textbf{9,630}$ maneras.

Answer 2

Solución sin utilizar el Principio de Inclusión/Exclusión:

Suma por número de pares de números: $0$ pares $+$ $1$ par $+$ $2$ pares

$=$ (elegir $4$ de la $10$ cuestiones de orden) $+$ (elija cuál se repetirá y dónde y el otro $2$ el orden de los números importa) $+$ (elija el número de cada par y la ubicación del primer y segundo par)

$=P(10,4) + 10*{{4}\choose{2}}*P(9,2) + {{10}\choose{2}}*{{4}\choose{2}}*1$

$=5040$ $+$ $4320$ $+$ $290$

$= 9630$