¿Para qué sirve el axioma de regularidad/fundamento?

Question

Además de los axiomas de extensionalidad y regularidad, todos los axiomas de ZFC postulan la existencia de un conjunto o proporcionan un método para generar nuevos conjuntos a partir de conjuntos existentes.

La extensionalidad da entonces una relación de equivalencia sobre conjuntos que nos permite confirmar que las definiciones que creamos están bien definidas.

La regularidad da entonces una regla que todos los conjuntos deben satisfacer.

A partir de todos los demás axiomas (además de la regularidad) podemos empezar a generar conjuntos y decidir qué conjuntos generados son equivalentes. Todos los conjuntos generados satisfarán o no la proposición del axioma de regularidad.

Si todos los conjuntos generados satisfacen el axioma de regularidad, ¿para qué sirve el axioma de regularidad? No añade ninguna estructura adicional a los conjuntos de ZFC.

Si existe un conjunto generado que no satisface el axioma de regularidad, ¿no son inconsistentes los axiomas?

Creo que mi malentendido proviene de un malentendido con el funcionamiento de los sistemas lógicos/formales. Cualquier aclaración será muy apreciada.

Answer 1

Es cierto que no aporta nada y que en la mayoría de los casos se puede prescindir de él. Sin embargo, es equivalente a $$\forall x(x\in V)$$ y esto a veces es útil en la teoría de conjuntos. En otras palabras, dice que todo conjunto tiene un rango.

Answer 2

Por recursión transfinita sobre $\Omega$ (la clase de todos los ordinales) podemos construir los siguientes conjuntos en $ZFC$

1. $V_0:=\emptyset$
2. $V_{\alpha+1}=\mathcal{P}(V_{\alpha})$
3. $V_{\gamma}=\bigcup_{\alpha<\gamma}V_\alpha$ si $\gamma$ es un ordinal límite.

Con esto, usted puede construir la clase $WF:=\bigcup\{V_\alpha:\alpha\in\Omega\}$ . Esta clase se conoce como la clase de conjuntos bien fundados y esto satisface tha $x\in WF\Leftrightarrow (x$ es un conjunto bien fundado).

Puedes probar que, bajo el axioma de regularidad, $V=WF$ (además, la regularidad equivale a $V=WF$ ). Tal vez, en este contexto, es un poco más claro que dice axioma de regularidad. Porque, si la regularidad no es cierta, entonces $V\neq WF$ por lo que en el universo de los conjuntos, existe un conjunto que no tiene un elemento mínimo respecto a $\in$ .