Velocidad de un objeto colocado sobre una onda

Question

Si coloco, por ejemplo, un papel pequeño encima de una ola de agua, ésta se mueve más despacio que la velocidad de la ola. ¿Puede alguien explicarme por qué ocurre esto?

Answer 1

Lineal ondas de agua en el transporte general energía no masa . Dependiendo de la forma de la onda, el papel adoptará órbitas diferentes si lo consideramos como un trazador pasivo. Por ejemplo, para las ondas lineales, el movimiento del papel es circular en aguas profundas, elíptico en aguas intermedias y horizontal en aguas poco profundas. Ahora lo haremos más riguroso.

Recordemos que para ondas de agua bidimensionales irrotacionales e invisibles la ecuación de gobierno es

$$\nabla^2 \phi = 0$$

donde $\nabla^2 \equiv \partial_{xx}+\partial_{zz}$ y $\phi$ es el potencial de velocidad. Requerimos que las partículas en la superficie libre permanezcan allí, y que la presión sea continua a través de la interfase aire-agua, lo que nos da (suponiendo que la presión atmosférica es 0) nuestras condiciones de contorno de superficie

$$\left.\eta_t+\phi_x\eta_x = \phi_z\right|_{z=\eta}; \quad \quad \left. \phi_t+\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 +gz=0\right|_{z=\eta},$$

donde $\eta(x,t)$ es el desplazamiento de la superficie libre. Por último, exigimos que el fondo sea impermeable, por lo que

$$\phi_z = 0 \quad @ z= -h$$

para $h$ la profundidad del agua. Se trata de un conjunto cerrado de ecuaciones. Obsérvese que la ecuación rectora, es decir, la ecuación de Laplace, es lineal y, por tanto, fácil de resolver. Sin embargo, las condiciones de superficie libre no son lineales y, lo que es más importante, se evalúan en una interfaz en movimiento. Esta última condición hace que estas ecuaciones sean muy difíciles de resolver.

Por lo tanto, para avanzar, generalmente tomamos expansiones asintóticas de estas ecuaciones. En este caso, nos limitaremos a linealizar las ecuaciones en torno a algún parámetro pequeño $\epsilon = ak$ para la amplitud de onda característica $a$ y número de onda $k$ . También consideraremos ondas monocromáticas periódicas, de modo que se puede demostrar que $\eta,\phi$ satisfacen las ecuaciones de gobierno de primer orden en $\epsilon$ :

$$\eta = a \cos \theta; \quad \phi = a\omega \sin \theta \frac{\sinh k(z+h)}{\sinh kh},$$

donde $\omega$ es la frecuencia angular dada por la relación de dispersión

$$\omega = \sqrt{gk \tanh kh},$$ et $\theta\equiv kx-\omega t$ .

Para responder a su pregunta, nos gustaría conocer el comportamiento de una partícula con posición $(\xi+x_o,\zeta+z_o)$ originalmente situado en alguna posición $(x_o,z_o)$ Esta es la descripción lagrangiana del fluido. Recordemos que podemos relacionar las descripciones euleriana y lagrangiana de un fluido a través del campo de velocidades, es decir

$$\phi_x = \frac{d \xi}{d t}; \quad \phi_z = \frac{d\zeta}{dt}.$$

Sustituyendo las relaciones por $\phi$ encontrado anteriormente, y luego integrando en el tiempo, encontramos

$$\xi =-a\frac{\cosh k(z_o+h)}{\sinh kh} \sin \theta_o; \quad \quad \zeta = a\frac{\sinh k(z_o+h)}{\sinh kh} \cos \theta_o,$$ donde $\theta_o =kx_o - \omega t$ . Observamos que los desplazamientos de las partículas desde el origen escalan con la amplitud de onda $a$ .

Ahora, podemos eliminar $\theta_o$ elevando al cuadrado las expresiones de la posición de la partícula para hallar

$$\frac{\xi^2}{\left(a\frac{\cosh k(z_o+h)}{\sinh kh} \right)^2 } +\frac{\zeta^2}{\left(a\frac{\sinh k(z_o+h)}{\sinh kh} \right)^2 }= 1$$

que describe un movimiento diferente en función del valor de $kh$ . Para olas de aguas profundas $kh\gg 1$ y tenemos una elipse, mientras que para las olas de aguas poco profundas $kh\ll1$ y tenemos un movimiento puramente horizontal. He adjuntado una figura de Kundu y Cohen que ilustra esto.

Así, vemos que las partículas no se trasladan (en realidad, las órbitas no son cerradas, lo que se puede comprobar examinando el transporte en segundo orden, que se denomina deriva de Stokes). Por lo tanto, la masa no se transporta, mientras que la energía sí.

Ahora bien, la historia puede ser muy diferente para las olas no lineales y rompientes, pero esta es otra historia para otro día.

Espero que esto ayude. No dude en hacer cualquier otra pregunta,

Nick