¿Son estos conjuntos homeomórficos?

Question

Son $X_1 = \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ y $X_2 = \{x \in \mathbb{R}^2: 0 < ||x||<1 \}$ ¿homeomórfico? ¿Es $X_2$ homeomorfo de $X_3 = \{x \in \mathbb{R}^2: 1 < ||x|| < 2 \}?$

Quiero decir que lo son, pero me cuesta escribir un homeomorfismo explícito $f_1:X_1 \to X_2$ y $f_2:X_2 \to X_3.$ ¿Cómo se construyen las funciones $f_1,f_2$ entre estos conjuntos tal que $f_1,f_2$ son continuos, biyectivos y tienen inversos continuos? Agradeceré cualquier sugerencia.

Answer 1

Pista: En términos de coordenadas polares, sólo necesitas encontrar un homeomorfismo

$$(0, \infty) \cong (0,1) \cong (1,2).$$

Answer 2

CW : Esto es simplemente una ampliación de la sugerencia de John Ma en caso de que alguien/algún día/en algún lugar lo lea y no esté muy seguro de lo que se quiere decir.

Centrándonos sólo en el primer cuadrante, visto como un subespacio de $\mathbb{R}$ :

El intervalo abierto $(0,1)$ puede asignarse a $(1,2)$ por el homeomorfismo $x \mapsto x+1$ .

(Supongo que no era ahí donde te esforzabas).

A continuación, buscamos un homeomorfismo entre el intervalo abierto $(0, \infty)$ y $(0, 1)$ .

¿Qué tal si convertimos la primera en la segunda mediante el homeomorfismo $x \mapsto \frac{x}{x+1}$ ?

Genial; ¡ahora gira!

Concretamente, para mostrar, por ejemplo, $X_1$ y $X_2$ son homeomórficas:

Dado un punto en $X_1$ gírelo $\rho$ grados sobre el eje en el primer cuadrante; a continuación, mapearlo a $(0,1)$ utilizando $x \mapsto \frac{x}{x+1}$ y, a continuación, gírelo hacia atrás $-\rho$ grados para que aterrice cómodamente en $X_2$ .

Esta composición de homeomorfismos da un homeomorfismo $X_1 \rightarrow X_2$ y esperemos que el resto de detalles/verificaciones estén al alcance de la mano.